Конспект "Многочлен и его стандартный вид" - УчительPRO

Многочлен и его стандартный вид

Ключевые слова конспекта: Многочлен, стандартный вид многочлена, члены многочлена, полиномы, нуль-многочлен, степень многочлена, приведение подобных слагаемых, старший коэффициент, свободный член многочлена.



Выражение 5a2b – 3ab – 4а3 + 7 представляет собой сумму одночленов 5a2b, –5ab, –4а3 и 7. Такие выражения называют многочленами.

Определение. Многочленом называется сумма одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Например, членами многочлена х3у 2 + 9 являются одночлены х3у, 2 и 9.

Многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом, а многочлен, состоящий из трёх членов, — трёхчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. Многочлены иногда называют полиномами, а двучлены — биномами (от греческих слов «поли» — «много», «номос» — «член, часть» и латинского «би» — «два, дважды»).

Зная значения переменных, входящих в многочлен, можно вычислить значение многочлена.

Пример 1. Найдём значение многочлена –0,3х2у – х3 + 7у при х = –0,2, у = –1.
Имеем:
–0,3х2у – х3+7у = –0,3 • (–0,2)2 • (–1) – (–0,2)3 + 7 • (–1) = 0,012 + 0,008 – 7 = –6,98.

Стандартный вид многочлена

В многочлене 13х2у + 4 + 8ху – 6х2у — 9 первый и четвёртый члены имеют одинаковую буквенную часть. Члены многочлена, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными членами. Подобными членами считаются и слагаемые, не имеющие буквенной части.

Сумму подобных членов многочлена можно заменить одночленом. Такое тождественное преобразование называют приведением подобных членов или приведением подобных слагаемых. Приведение подобных членов основано на переместительном и сочетательном свойствах сложения и распределительном свойстве умножения.

 Пример 2. Приведём подобные члены многочлена 13х2у + 4 + 8ху – 6х2у — 9.
 Имеем:
 13х2у + 4 + 8ху – 6х2у – 9 = (13х2у – 6х2у) + 8ху + (4 – 9) = (13 – 6)х2у + 8ху – 5 = 7х2у + 8ху – 5.

В многочлене 2у + 8ху – 5 каждый член является одночленом стандартного вида, причём среди них нет подобных членов. Такие многочлены называются многочленами стандартного вида.

Рассмотрим многочлен стандартного вида За3 – 5а3b2 + 7. Его членами являются одночлены третьей, пятой и нулевой степени. Наибольшую из этих степеней называют степенью многочлена. Таким образом, этот многочлен является многочленом пятой степени.

 Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

 Пример 3. Определим степень многочлена а6 + 2а2b – а6 + 1.
 Для этого приведём многочлен к стандартному виду: а6 + 2а2b – а6 + 1 = 2a2b + 1.
 Степень полученного многочлена равна трём. Значит, и степень заданного многочлена равна трём.

Если многочлен является числом, отличным от нуля, то степень такого многочлена равна 0. Число нуль называют нуль-многочленом. Его степень считается не определённой.

Среди многочленов выделяют многочлены с одной переменной. Многочлен n-й степени с одной переменной в стандартном виде записывается так: а0хn + а1хn-1 + а2хn-2 + … + аn-2х2 + аn-1х + аn, где х — переменная, а0, a1 а2, …, аn-1, аn — произвольные числа, n N или n = 0. Коэффициент при хn называют старшим коэффициентом (в нашем случае это а0). Слагаемое, не содержащее переменной х, называют свободным членом многочлена (в нашем случае это аn). Например, старший коэффициент многочлена х4 + 2х3 х2 + 3х равен 1, а свободный член равен нулю.

Заметим, что значение многочлена с переменной х при х = 0 равно свободному члену этого многочлена, а при х = 1 — сумме его коэффициентов.

 

Многочлен и его стандартный вид


Это конспект по математике на тему «Многочлен и его стандартный вид». Выберите дальнейшие действия:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Send this to a friend