Многочлен и его стандартный вид

Ключевые слова конспекта: Многочлен, стандартный вид многочлена, члены многочлена, полиномы, нуль-многочлен, степень многочлена, приведение подобных слагаемых, старший коэффициент, свободный член многочлена.

Выражение 5a²b – 3ab – 4а³ + 7 представляет собой сумму одночленов 5a²b, –3ab, –4а³ и 7. Такие выражения называют многочленами.

✅ Определение. Многочленом называется сумма одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Например, членами многочлена х³у – 4х² + 9 являются одночлены х³у, –4х² и 9.

Многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом, а многочлен, состоящий из трёх членов, — трёхчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. Многочлены иногда называют полиномами, а двучлены — биномами (от греческих слов «поли» — «много», «номос» — «член, часть» и латинского «би» — «два, дважды»).

Зная значения переменных, входящих в многочлен, можно вычислить значение многочлена.

Пример 1. Найдём значение многочлена –0,3х²у – х³ + 7у при х = –0,2, у = –1.
Имеем:
–0,3х²у – х³+7у = –0,3 • (–0,2)² • (–1) – (–0,2)³ + 7 • (–1) = 0,012 + 0,008 – 7 = –6,98.

Стандартный вид многочлена

В многочлене 13х²у + 4 + 8ху – 6х²у — 9 первый и четвёртый члены имеют одинаковую буквенную часть. Члены многочлена, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными членами. Подобными членами считаются и слагаемые, не имеющие буквенной части.

Сумму подобных членов многочлена можно заменить одночленом. Такое тождественное преобразование называют приведением подобных членов или приведением подобных слагаемых. Приведение подобных членов основано на переместительном и сочетательном свойствах сложения и распределительном свойстве умножения.

 Пример 2. Приведём подобные члены многочлена 13х²у + 4 + 8ху – 6х²у — 9.
 Имеем:
 13х²у + 4 + 8ху – 6х²у – 9 = (13х²у – 6х²у) + 8ху + (4 – 9) = (13 – 6)х²у + 8ху – 5 = 7х²у + 8ху – 5.

В многочлене 7х²у + 8ху – 5 каждый член является одночленом стандартного вида, причём среди них нет подобных членов. Такие многочлены называются многочленами стандартного вида.

Рассмотрим многочлен стандартного вида За³ – 5а³b² + 7. Его членами являются одночлены третьей, пятой и нулевой степени. Наибольшую из этих степеней называют степенью многочлена. Таким образом, этот многочлен является многочленом пятой степени.

 Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

 Пример 3. Определим степень многочлена а⁶ + 2а²b – а⁶ + 1.
 Для этого приведём многочлен к стандартному виду: а⁶ + 2а²b – а⁶ + 1 = 2a²b + 1.
 Степень полученного многочлена равна трём. Значит, и степень заданного многочлена равна трём.

Если многочлен является числом, отличным от нуля, то степень такого многочлена равна 0. Число нуль называют нуль-многочленом. Его степень считается не определённой.

Среди многочленов выделяют многочлены с одной переменной. Многочлен n-й степени с одной переменной в стандартном виде записывается так: а₀хⁿ + а₁х^n-1 + а₂х^n-2 + … + а_n-2х² + а_n-1х + а_n, где х — переменная, а₀, a₁ а₂, …, а_n-1, а_n — произвольные числа, n ∈ N или n = 0. Коэффициент при хⁿ называют старшим коэффициентом (в нашем случае это а₀). Слагаемое, не содержащее переменной х, называют свободным членом многочлена (в нашем случае это а_n). Например, старший коэффициент многочлена х⁴ + 2х³ – х² + 3х равен 1, а свободный член равен нулю.

Заметим, что значение многочлена с переменной х при х = 0 равно свободному члену этого многочлена, а при х = 1 — сумме его коэффициентов.

Это конспект по математике на тему «Многочлен и его стандартный вид». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: 
• Вернуться к списку конспектов по Математике.
• Проверить знания по Математике.