Начальные геометрические понятия

Ключевые слова конспекта: начальные геометрические понятия, математические утверждения в геометрии, аксиома, определение, теорема, доказательство, точка, прямая, линия, плоскость, луч, отрезок, длина отрезка, измерение отрезков, единицы длины, расстояние между двумя точками.

Математические утверждения в геометрии

Аксиома – это утверждение, принимающееся как истинное без доказательства. Слово «аксиома» происходит от греческого слова «аксиос» и означает «утверждение, не вызывающее сомнений».
Определение – четкое формулирование того или иного математического понятия.
Теорема – математическое утверждение, истинность которого устанавливают путем доказательства.
Признак – утверждение, которое позволяет доказать, что данная фигура является фигурой, которая имеет данные качества или связана необходимыми отношениями.
Доказательство – размышление, в ходе которого устанавливается истинность или ложность утверждения.

Простейшие геометрические фигуры

Точка — понятие, не имеющее значения. Точка имеет разные интерпретации в зависимости от контекста. Использование данного понятия в разных областях (геометрия, физика, алгебра и др.) может иметь разный смысл. Например, в евклидовой геометрии точка — неопределяемое понятие, которое не может быть определено в терминах ранее определённых объектов. Точка — абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик (длины, площади, объёма и т. д.), кроме координат. Однако понятие точки используется и в пространствах без системы координат (например, в топологии или в теории графов). Точка определяется только некоторыми свойствами (аксиомами), которым она должна удовлетворять.

Представление о точке дает след на листе бумаги, сделанный хорошо заостренным карандашом. Слово «точка» является переводом латинского слова «pungo», что означает «тыкаю», «дотрагиваюсь». Обозначают точки большими латинскими буквами: А, В, С.

Примечание. Понятия, не имеющими значения, называют основными (базовыми), или неопределяемыми, так как им не дают единого формального определения. Их описывают через представления.

Прямая — понятие, не имеющее значения. Представление о прямой дают: туго натянутая нитка; луч света, проходящий сквозь узкое отверстие. Обозначают прямые латинскими буквами: а, b, … или двумя большими латинскими буквами: АС, ВС, … Прямая бесконечна.

Слово «линия» происходит от латинского слова «tinea», что значит «лён», «льняная нить», иногда это слово понимают как «прямая линия», и отсюда происходит слово «линейка».

Плоскость — понятие, не имеющее значения. Представление о плоскости дают: поверхность стола, оконного стекла, поверхность озера в тихую погоду и т.п. Плоскость предcтавляют неограниченной, идеально ровной и гладкой. Обозначают плоскости маленькими греческими буквами:  α, β, …

Луч (полупрямая) — часть прямой, состоящая из всех точек этой прямой, которая лежит по одну сторону от данной на ней точки (начало луча).

Отрезок и его длина

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками, включая эти точки. Равные отрезки — отрезки,которые совпадают при наложении. Середина отрезка — точка, которая делит отрезок пополам.

Расстояние между двумя точками

Расстояние между разными точками — длина отрезка с концами в данных точках. Расстояние между точками, которые совпадают, равно 0.

Для любых точек А и В расстояние от А до В равно расстоянию от В до А. Для любых трех точек расстояние между двумя из них не больше суммы двух других расстояний.

Это конспект по теме «Начальные геометрические понятия». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: Аксиомы планиметрии
• Вернуться к Списку конспектов по геометрии