Прямоугольный треугольник

Ключевые слова: прямоугольный треугольник, свойства и признаки прямоугольного треугольника, метрические соотношения в прямоугольном треугольнике, признаки равенства и подобия.

Определение и свойства
прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник определение

Прямоугольный треугольник — треугольник, имеющий прямой угол. Стороны, образующие прямой угол, называют катетами, а сторону, противолежащую к прямому углу, называют гипотенузой.

Свойства прямоугольного треугольника:
1. Катет меньше гипотенузы.
2. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора): с2 = а2 + b2.
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
4. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (радиусу окружности, описанной около треугольника).
5. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно вычислить по формуле: r = (a + b – c)/2.
6. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
7. Если катет прямоугольного треугольника равен 1/2 гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Прямоугольный треугольник признаки

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны если:
• два катета одного треугольника равны двум катетам другого;
• катет и острый угол одного треугольника равны катету и острому углу другого треугольника;
• гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого треугольника;
• гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

 

Метрические соотношения
в прямоугольном треугольнике

Три равенства, которые называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике:

  • Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу: h2 = cacb.
  • Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу: a2 = c • ca; b2 = c • cb.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Отрезки, на которые высота делит гипотенузу, называют проекциями катетов на гипотенузу.

h − высота прямоугольного треугольника. Часто проекции обозначают с помощью индексов. Например, запись ca указывает на то, что это проекция катета a на гипотенузу c.

Теорема о высоте прямоугольного треугольника. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Доказательство: 1) Пусть в прямоугольном треугольнику АСВ: ∠A = α, ∠B = β. Сумма этих углов равна α + β = 90°.
2) Высота CH делит треугольник ACB на два прямоугольных треугольника в каждом из которых есть угол α и угол β.
3) Следовательно, все три треугольника подобны по двум углам: △ACB ∼ △AHC ∼ △CHB.

 


Это конспект по теме «Прямоугольные треугольники». Выберите дальнейшие действия:

 

3 Комментарии

  1. демагог:

    Спасибо, очень хорошо

  2. Аноним:

    круто

  3. Валерия:

    Спасибо большое, отличный конспект !

Добавить комментарий

На сайте используется ручная модерация. Срок проверки комментариев: от 1 часа до 3 дней