Степень с натуральным показателем:
определение и вычисление

Алгебра 7 класс. Опорный конспект № 1.6 — Степень с натуральным показателем: определение и вычисление. aⁿ: основание и показатель; вычисление значений (положительные, отрицательные, дробные основания); запись больших чисел через 10ⁿ (введение в стандартный вид).
Вернуться к Списку конспектов по алгебре

Степень с натуральным показателем

✅ Определение. Степенью числа a с натуральным показателем n (где n > 1) называется произведение n множителей, каждый из которых равен a.

📌 Обозначение: aⁿ

• a — основание степени (число, которое умножаем).
• n — показатель степени (сколько раз умножаем основание на себя).

Произведение 7 • 7 • 7 • 7 • 7 записывают короче: 7⁵. Выражение вида 7⁵ называют пятой степенью числа 7 (читают: «семь в пятой степени»). В записи 7⁵ число 7, которое означает повторяющийся множитель, называют основанием степени, а число 5, показывающее, сколько раз этот множитель повторяется, называют показателем степени.

💡 Особые случаи: a¹ = a (степень с показателем 1 равна самому числу); a⁰ = 1 (при a ≠ 0) — об этом подробнее в следующих конспектах.

Пример. Умножим 7⁵ на 7³:
7⁵ • 7³ = (7 • 7 • 7 • 7 • 7) • (7 • 7 • 7) = 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 = 7⁸.
Показатель степени увеличился на 3. 

Запись аⁿ читается так: «а в степени n» или «n-я (энная) степень числа а». Для второй и третьей степеней числа используют специальные названия: вторую степень числа называют квадратом, а третью степень — кубом.

Возведение в степень

Нахождение n-й степени числа а называют возведением в n-ю степень.

 Пример 1. Возведём число –3 в четвёртую и пятую степени:
 (–3)⁴ = (-3) • (-3) • (-3) • (-3) = 81;
 (–3)⁵ = (-3) • (-3) • (-3) • (-3) • (-3) = –243.

Из свойств умножения следует, что:

•  при возведении нуля в любую степень получается нуль;
•  при возведении положительного числа в любую степень получается положительное число;
•  при возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получается положительное число, а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем — отрицательное число.

 Пример 2. Возведём число 6,1 в седьмую степень, воспользовавшись калькулятором.  Для этого надо выполнить умножение:
 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1.
Калькулятор позволяет выполнять возведение в степень проще, не повторяя основание степени и знак умножения. Для того чтобы возвести число 6,1 в седьмую степень, достаточно ввести число 6,1, нажать клавишу УМНОЖИТЬ и шесть раз нажать клавишу РАВНО . Получим, что 6,1⁷ = 314274,28.

При вычислении значений числовых выражений, не содержащих скобки, принят следующий порядок действий: сначала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление, далее сложение и вычитание.

 Пример 3. Найдём значение выражения –6² + 64 : (–2)⁵.  Последовательно находим:
1) 6² = 36;
2) (–2)⁵ = –32;
3) 64 : (–32) = –2;
4) –36 + (–2) = –38.
⚠️ Здесь нет ошибки! (–6)^2 = 36, но –6^2 = –36.

 Пример 4. Найдём множество значений выражения 5 • (–1)^{n + 1} + 2, где n ∈ N.
Если n — нечётное число, то (-1)^{n + 1} = 1; тогда 5 • (-1)^{n + 1} + 2 = 5 • 1 + 2 = 7.
Если n — чётное число, то (-1)^{n + 1} = -1; тогда  5 • (-1)^{n + 1} + 2 = 5 • (-1) + 2 = -5 + 2 = -3.
Множество значений данного выражения: {-3; 7}.

В рассмотренном примере было указано, что n ∈ N. Условимся в дальнейшем такое указание опускать и считать, что если показатель степени содержит переменную, то значениями этой переменной являются натуральные числа.

Вычисление значений степени с разными основаниями

Положительное основание.
Если основание положительное, то значение степени всегда положительно.
Примеры:

• 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
• 0,5² = 0,5 · 0,5 = 0,25
• ⅔³ = ⅔ · ⅔ · ⅔ = 8/27

Отрицательное основание. 
⚠️ Важно: знак результата зависит от чётности показателя:

• Если показатель чётный → результат положительный.
• Если показатель нечётный → результат отрицательный.

Примеры:

• (–2)² = (–2) · (–2) = 4 (чётный показатель → +)
• (–2)³ = (–2) · (–2) · (–2) = –8 (нечётный показатель → −)
• (–3)⁴ = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = 81
• (–3)⁵ = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = –243

❗️ Не путай: (–2)² = 4, а –2² = –4. Во втором случае сначала возводится в степень 2, а затем ставится минус.

Дробное основание. 
Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в степень числитель и знаменатель отдельно.
Примеры:

• (⅔)² = 2²/3² = 4/9
• (½)³ = 1³/2³ = ⅛
• (¾)² = 9/16
• (–½)⁴ = (–1)⁴/2⁴ = 1/16

Запись больших чисел через 10ⁿ

💡 Степени числа 10 особенно удобны для записи больших чисел:

• 10¹ = 10
• 10² = 100
• 10³ = 1 000
• 10⁴ = 10 000
• 10⁶ = 1 000 000 (миллион)
• 10⁹ = 1 000 000 000 (миллиард)

📌 Правило: 10ⁿ — это единица с n нулями.
Примеры записи больших чисел:

• 3 000 = 3 · 10³
• 25 000 = 2,5 · 10⁴
• 5 670 000 = 5,67 · 10⁶
• 1 200 000 000 = 1,2 · 10⁹

Стандартный вид числа (введение)

Стандартный вид числа — это запись числа в виде:

a · 10ⁿ,

где 1 ≤ a < 10, а n — целое число.
Такая запись позволяет компактно представлять очень большие (и очень маленькие) числа.

Алгоритм перевода в стандартный вид:

1. Поставить запятую после первой значащей цифры.
2. Посчитать, на сколько позиций переместилась запятая.
3. Если запятая переместилась влево → показатель степени положительный.
4. Если запятая переместилась вправо → показатель степени отрицательный (об этом позже).

Примеры:

• 3 800 = 3,8 · 10³ (запятая сдвинулась на 3 знака влево)
• 45 600 000 = 4,56 · 10⁷
• 930 000 = 9,3 · 10⁵
• 7 200 000 000 = 7,2 · 10⁹

Практические советы

• 👉 При возведении отрицательного числа в степень всегда заключай его в скобки.
• 👉 Чтобы возвести дробь в степень, возводи отдельно числитель и знаменатель.
• 👉 При записи больших чисел через 10ⁿ считай количество нулей — это и есть показатель степени.
• 👉 Для стандартного вида число должно быть от 1 до 10 (но не включая 10).

Таблица степеней, которые полезно запомнить:

• 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 2⁷ = 128, 2⁸ = 256, 2⁹ = 512, 2¹⁰ = 1024
• 3² = 9, 3³ = 27, 3⁴ = 81, 3⁵ = 243
• 4² = 16, 4³ = 64, 4⁴ = 256
• 5² = 25, 5³ = 125, 5⁴ = 625
• 10² = 100, 10³ = 1000, 10⁴ = 10000

Задачи для самостоятельного решения

Вы смотрели конспект по алгебре на тему «Степень с натуральным показателем: определение и вычисление».
Вернуться к Списку конспектов по алгебре