Поурочное планирование по алгебре для 8 класса. Ориентировано на работу с УМК Макарычев. Алгебра 8 класс. Просвещение. Глава 2. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ (19 ч). § 5. Арифметический квадратный корень (5 ч) Урок 27. Уравнение x^2 = а. Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.

Урок 27. Уравнение x² = а

Цель: рассмотреть решение простейшего квадратного уравнения.
Планируемые результаты: научиться решать и исследовать простейшие квадратные уравнения.
Тип урока: урок изучения нового материала.

ХОД УРОКА

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

III. Работа по теме урока

Рассмотрим простейшее квадратное уравнение x² = а (где а — произвольное число). В зависимости от числа а при решении этого уравнения возможен один из трех случаев.

1. Если а < 0, то данное уравнение корней не имеет. Действительно, для любого числа х левая часть уравнения x² > 0, а правая часть — число а < 0. Получаем противоречие: неотрицательная величина не может равняться отрицательному числу.
2. Если а = 0, то уравнение имеет единственный корень, равный нулю (т. е. корень х = 0). Только для числа х = 0 величина x² = 0 и уравнение обращается в верное равенство.
3. Если а > 0, то уравнение имеет два корня: х₁ = –√а и x² = √a. Действительно, при подстановке в данное уравнение числа –√а получаем (–√а)² = (–1)² • (–√а)² = 1 • а = а (верное равенство), при подстановке значения √а имеем (√а)² = а (также верное равенство).

Три возможных случаях решения уравнения x² = а имеют простую графическую иллюстрацию. Построим график функции у₁ = x² (парабола). Для различных значений а построим график функции у₂ = а (прямая, параллельная оси абсцисс).

При а < 0 прямая у₂ (прямая 1) расположена ниже оси абсцисс и не имеет с параболой у₁ общих точек. Поэтому данное уравнение решений не имеет.

При а = 0 прямая у₂ (прямая 2) совпадает с осью абсцисс и имеет с параболой у₁ одну общую точку А, абсцисса которой х = 0. Поэтому данное уравнение имеет единственный корень х = 0.

При а > 0 прямая у₂ (прямая 3) расположена выше оси абсцисс и пересекает параболу у₁ в двух точках: В и С. Так как парабола у, симметрична относительно оси ординат, то точки В и С также симметричны относительно оси ординат. Пусть абсциссы этих точек x₂ и х₁ соответственно. Так как x₂ есть положительное число, квадрат которого равен а, то x₂ является арифметическим квадратным корнем из а, т. е. x₂ = √а. Так как х₁ есть число, противоположное x₂, то х₁ = –√а.

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Решим уравнение x² – 6х + 5 = 0.

Ранее такие квадратные уравнения мы решали разложением левой части на множители. Используем теперь для решения другой способ — выделение полного квадрата разности. Рассмотрим первых два слагаемых x² – 6х в левой части уравнения и запишем их в виде x² – 2 • х • 3, т. е. квадрат первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе (в качестве второго числа возьмем число 3). Если добавить (соответственно, и вычесть) квадрат второго числа З² = 9, то получим полный квадрат разности: (x² – 6х + 9) – 9 + 5 = 0, или (х – З)² – 4 = 0, или (х – З)² = 4. Далее уравнение решается аналогично предыдущему. Получаем два линейных уравнения: х – 3 = –2 (его корень х₁ = 1)и х – 3 = 2 (корень x₂ = 5). Итак, уравнение имеет два корня: х₁ = 1 и x₂ = 5.

Пример 4

Определим число корней уравнения x² + 4х + с = 0 (где с — произвольное число).

Для анализа этого уравнения также используем способ выделения полного квадрата суммы. Для этого в левой части уравнения добавим (и вычтем) число 4. Получаем (x² + 4х + 4) + + с – 4 = 0 или (х + 2)2 = 4 – с. С помощью обозначений Z = х + 2 и a = 4 – с это уравнение сводится к простейшему квадратному уравнению Z² = а.

• При а < 0 или 4 – с < 0 (т. е. с > 4) это (и данное) уравнение корней не имеет.
• При а = 0 или 4 – с = 0 (т. е. с = 4) уравнение имеет один корень.
• При а > 0 или 4 – с > 0 (т. е. с < 4) уравнение Z² = а имеет два корня: Z₁ и Z₂. Вернувшись к старой неизвестной Z– х + 2, получаем, что и данное уравнение имеет два корня: х, и x².

Заметим, что в задачах с параметрами ответ принято записывать в порядке возрастания параметра. Поэтому в рассмотренном примере ответ имеет вид: при с < 4 два корня, при с = 4 один корень, при с > 4 нет корней.

IV. Задания на уроке

№ 319 (а, в); 321 (б); 322 (а, д); 324 (а, в); 325; 328; 329 (в, е); 331 (а, б).

V. Контрольные вопросы

1. Возможные случаи решения уравнения x² = а.
2. Графическое решение уравнения x² = а (три случая).

VI. Творческие задания

VII. Подведение итогов урока

Домашнее задание: № 319 (б, г); 321 (а); 322 (в, г); 324 (б, г); 326; 329 (г, д); 331 (в, г).

Вы смотрели: Поурочное планирование по алгебре для 8 класса. УМК Макарычев (Просвещение). Глава 2. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ (19 ч). § 5. Арифметический квадратный корень (5 ч). Урок 27. Уравнение x^2 = а.

Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.