Аксиомы стереометрии
и их простейшие следствия.

Ключевые слова конспекта «Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия»: понятие о стереометрии, следствия из аксиом стереометрии, решение простейших задач.

■ Понятие о стереометрии.

Стереометрия — часть геометрии, которая изучает пространственные фигуры и их свойства. Пространственные фигуры могут быть неплоскими (например, куб или сфера) или плоскими. Всю совокупность точек, рассматриваемых в стереометрии, называют пространством.

Фигура (или фигура в пространстве) — произвольное множество точек, расположенных в пространстве. В частности, это все фигуры, расположенные в какой-либо плоскости, в том числе и сама эта плоскость. Следовательно, плоские фигуры — также пространственные фигуры. Поэтому основными свойствами плоских фигур, известными из курса планиметрии, мы будем пользоваться и в стереометрии. Однако в стереометрии важнейшими являются пространственные фигуры, не лежащие полностью ни в одной плоскости, — неплоские фигуры.

С некоторыми простыми неплоскими фигурами вы уже знакомы из курса геометрии 9-го класса. К ним относятся (рис. 3.1): куб (а); прямоугольный параллелепипед (б); призма (в); пирамида (г-д); конус (е); цилиндр (ж); шар (з).

Некоторые фигуры в пространстве еще называют телами. Наглядно геометрическое тело можно представить себе как часть пространства, занимаемого физическим телом и ограниченного некоторой поверхностью. Например, поверхность шара — сфера состоит из всех точек пространства, удаленных от одной точки — центра на расстояние, равное радиусу. Эта поверхность ограничивает шар, состоящий из всех точек пространства, удаленных от одной точки — центра на расстояние, не превышающее радиуса.

Куб, параллелепипед, призма и пирамида — многогранники. Строгое определение многогранника будет дано в 11-м классе. Однако поскольку с некоторыми видами многогранников мы начинаем работать с 10-го класса, то вспомним определения, опирающиеся на наглядно-интуитивные представления.

Многогранником будем называть тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Каждый из этих многоугольников называют гранью многогранника (рис. 3.2). Стороны граней называют ребрами многогранника. Вершинами многогранника называют вершины его граней. Отрезок, соединяющий вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называют диагональю многогранника. Напоминаем, что все грани куба — квадраты, а все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

■ Основные понятия стереометрии.

Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Как и в курсе планиметрии, точки в пространстве будем обозначать прописными латинскими буквами А, В, С, D, …, а прямые — строчными латинскими буквами — а, b, с, … (или двумя точками, лежащими на прямой). Плоскости будем обозначать строчными греческими буквами α, β, γ, …, а изображать в виде параллелограммов или произвольных замкнутых областей (рис. 3.3). Такие способы изображения отвечают наглядному представлению о плоскости как о гладкой поверхности стола, озера и т. п. При этом плоскость представляют неограниченной во все стороны, идеально ровной, не имеющей никакой толщины.

Если А — точка плоскости α, то говорят, что точка А лежит в плоскости α, а плоскость α проходит через точку А. Это можно записывать так: А ∈ α. Если точка М не принадлежит плоскости а, то это записывают так: M ∉ α (рис. 3.5).

Если каждая точка прямой а принадлежит плоскости α, то говорят, что прямая а лежит в плоскости α, а плоскость α проходит через прямую а (рис. 3.6). Это можно обозначать так: а ⊂ α. Если прямая b не принадлежит плоскости α, то это можно обозначать так: b ⊄ α.

Если прямая а и плоскость α имеют только одну общую точку А, то говорят, что они пересекаются в точке А. Это можно записать так: а ∩ α = А. На соответствующем рисунке часть прямой, «закрытая» изображением плоскости, считается невидимой и изображается штриховой линией (рис. 3.7).

■ Аксиомы стереометрии.

В стереометрии, как и в планиметрии, свойства геометрических фигур устанавливаются путем доказательства соответствующих теорем. Но в начале курса, когда нам еще не известно ни одно свойство фигур в пространстве, приходится некоторые свойства основных фигур принимать без доказательств. Как и в планиметрии, свойства основных геометрических фигур, принимаемые без доказательств, называют аксиомами. Напоминаем, что основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Аксиомы выражают интуитивно понятные свойства плоскостей и их связь с другими основными фигурами — точками и прямыми.

• Аксиома 1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
• Аксиома 2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
• Аксиома 3. Если две различные точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
• Аксиома 4. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (рис. 3.8).
• Аксиома 5. Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на всех плоскостях, содержащих эти точки.

В курсе стереометрии мы будем считать также, что для любой плоскости в пространстве справедливы все основные определения, теоремы и аксиомы планиметрии.

В частности, на каждой плоскости между двумя выбранными точками существует определенное расстояние — длина соединяющего их отрезка. Хотя две точки могут принадлежать одновременно различным плоскостям, но по аксиоме 5 расстояния между ними на каждой из этих плоскостей будут одинаковы. Если выбран единичный отрезок, то длину любого отрезка можно выразить положительным числом. К этому числу приписывают название единичного отрезка: 2 см, 1,5 км и т. п. Если единичный отрезок не имеет названия, а длина отрезка АВ равна, например, 5 единицам длины, то пишем: АВ = 5. Это сокращенная запись выражения АВ = 5 единиц.

Аксиома о расстоянии позволяет сравнивать фигуры, расположенные в различных плоскостях, в частности применять теоремы о равенстве и подобии треугольников. Пользуясь понятием расстояния, можно дать определение равенства и подобия фигур в пространстве так, как это было сделано в планиметрии. В частности,

• две фигуры называют равными, если существует взаимно однозначное соответствие между их точками, при котором расстояния между парами соответствующих точек равны.

Примечания: 1) Для установления соответствия между двумя фигурами каждой точке одной фигуры ставится в соответствие единственная точка другой фигуры. 2) Как и на плоскости, соответствие между двумя фигурами, при котором сохраняются расстояния между соответствующими точками этих фигур, называют перемещением, или движением.

• две фигуры называют подобными, если существует взаимно однозначное соответствие между их точками, при котором расстояния между их точками изменяются в одно и то же число раз.

Иначе говоря, для двух произвольных точек X и Y одной фигуры и соответствующих точек X’ и Y’ другой фигуры справедливо равенство X’Y’ = k • XY. В дальнейшем аксиому 5, в отличие от остальных аксиом, будем применять, не ссылаясь на нее.

■ Следствия из аксиом стереометрии.

Используя аксиомы стереометрии, с помощью логических рассуждений устанавливается справедливость других свойств. Рассмотрим некоторые из них.

⚠ Теорема 1. Через прямую и точку, не лежащую на ней, можно провести плоскость, и притом только одну.

• Доказательство. Пусть точка А не лежит на прямой l. Выберем на прямой l произвольные точки В и С (рис. 3.9). Через точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, по аксиоме 2 проходит единственная плоскость а. По аксиоме 3 прямая l лежит в плоскости α. Следовательно, плоскость α проходит через прямую l и точку А.
  
  Покажем, что эта плоскость единственная. Действительно, любая другая плоскость, проходящая через прямую l и точку А, будет проходить также через точки А, В, С. По аксиоме 2 она должна совпадать с плоскостью α.

⚠ Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

• Доказательство. Пусть прямые а и b пересекаются в точке С (рис. 3.10). Выберем на прямой а произвольную точку А, а на прямой b — точку В, отличные от точки С. Через точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, по аксиоме 2 проходит единственная плоскость α. По аксиоме 3 прямая а лежит в плоскости α и прямая b лежит в плоскости α. Следовательно, плоскость α проходит через прямые а и b.
  Покажем, что эта плоскость единственная. Действительно, любая другая плоскость, проходящая через прямые а и b, будет проходить также через точки А, В, С. По аксиоме 2 она должна совпадать с плоскостью а.

Замечание. Поскольку три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют некоторую плоскость, то иногда плоскость, проходящую через эти точки, обозначают так: (АВС).

Выражение «плоскость АВС» будем записывать также сокращенно «пл. АВС». Чтобы подчеркнуть, что рассматриваемые четыре и более точек лежат в одной плоскости, будем использовать сокращенные записи «плоскость ABCD» или «пл. ABCD», означающие, что плоскость проходит через точки А, В, С, D.

Из аксиомы 2 и доказанных теорем следует, что плоскость можно задать:

• тремя точками, не лежащими на одной прямой;
• прямой и точкой, не лежащей на ней;
• двумя пересекающимися прямыми.

Ранее мы договорились, что для любой плоскости в пространстве справедливы все основные определения, теоремы и аксиомы планиметрии. Однако понимание некоторых аксиом планиметрии как аксиом стереометрии требует уточнения. Например, в любом учебнике планиметрии применяется аксиома I₁: какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Другими словами, существуют точки вне данной прямой на плоскости, на которой лежит прямая (и все рассматриваемые фигуры). Именно на таком понимании построена геометрия на плоскости.

В стереометрии эта аксиома приобретает иной смысл. Она утверждает вообще существование точек, не лежащих на данной прямой. Из нее не следует, что существуют точки вне данной прямой на другой плоскости, на которой лежит прямая.

■ Примеры решения задач

✅ Задача 1. Даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Могут ли три из них лежать на одной прямой?

✅ Задача 2. Докажите, что через любые две точки пространства можно провести прямую, и притом только одну.

✅ Задача 3. Даны прямая и точка, не лежащая на ней. Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку, лежат в одной плоскости.

Это конспект по геометрии в 10 классе «Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия». Выберите дальнейшие действия:

• Вернуться к Списку конспектов по геометрии
• Найти конспект по Кодификатору ОГЭ по математике