Поурочные планы по алгебре 8 класс Макарычева. Урок № 5, тема учебника «п. 3 (с. 19–20) Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Примеры 1 и 2.». Календарное и тематическое планирование учебного процесса 2025/2026 по новой ФОП ООО. Цитаты из учебного пособия Крайневой Л.Б. «Уроки алгебры» использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра 8 класс Урок 5.
Вернуться к Списку уроков.
Алгебра 8 класс. Урок № 5.
Тема урока: п. 3 (с. 19–20) Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Примеры 1 и 2.
Актуализация. Устные упражнения: У–5.
№ 1. (№ 74 а, в). Укажите допустимые значения переменной в выражении:
а) $\frac{3a}{2a+25}$; в) $\frac{5x}{3x(x+12)}$
№ 2. Найдите значение выражения:
а) $\dfrac{2^7}{4^2}$; б) $\dfrac{25^5}{125^4}$
№ 3. Выполните действие:
а) $\frac{7}{12}+\frac{1}{12}$; б) $\frac{17}{36}\mathbin{-}\frac{5}{36}$
Мотивационный этап
Вот 2 интересных факта, которые идеально впишутся в начало урока по сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями. Здесь акцент можно сделать на магии преобразований (когда числитель сворачивается в квадрат) и на том, зачем вообще приводить всё к одному «общему языку».
Факт №1. «Музыкальная гармония» (Почему знаменатель — это ритм)
Представьте, что вы дирижёр оркестра. Знаменатель в дроби — это ритм или темп (например, 4/4, 3/4). Складывать ноты можно только тогда, когда они звучат в одном ритме. Вы не можете сложить четвертную ноту с восьмушкой, пока не приведёте их к общему знаменателю — не перепишете в одинаковых длительностях.
В нашем Примере 1 знаменатель у обеих дробей уже одинаковый (`15ab`). Это как если бы два музыканта играли в одном темпе. Им остаётся только «сыграть свои партии» (числители) вместе:
\( \frac{3a \mathbin{-} 7b}{15ab} + \frac{2a + 2b}{15ab} \)
Мы просто объединяем мелодии в числителе, а «ритм» (знаменатель) остаётся неизменным. Без этого правила музыка бы превратилась в хаос, а математика — в груду несократимых дробей.
Связь с уроком: Когда вы складываете дроби, вы учитесь слышать «общий ритм» в выражениях. Это тот же навык, который помогает дирижёрам, звукорежиссёрам и даже программистам, работающим со звуковыми частотами!
Факт №2. «Фокус с квадратом» (Как мы обманули формулу)
Посмотрите на Пример 2. Сначала у нас было страшное выражение:
\( \frac{a^2 + 9}{5a \mathbin{-} 15} \mathbin{-} \frac{6a}{5a \mathbin{-} 15} = \frac{a^2 \mathbin{-} 6a + 9}{5a \mathbin{-} 15} \)
А потом — бац! — и числитель превратился в \((a \mathbin{-} 3)^2\), а знаменатель в \(5(a \mathbin{-} 3)\). И дробь сократилась до \(\frac{a \mathbin{-} 3}{5}\).
Знаете, где этот фокус применяется каждый день? В криптографии и сжатии данных. Когда компьютер передаёт информацию по интернету, он постоянно ищет «скрытые квадраты» — повторяющиеся структуры, чтобы свернуть их в более короткую формулу. То, что мы сделали \(a^2 \mathbin{-} 6a + 9 = (a \mathbin{-} 3)^2\) — это и есть «архивация» выражения. Мы упаковали три члена в один компактный квадрат, а потом сократили лишнее.
Связь с уроком: Когда вы сворачиваете числитель по формуле квадрата разности, вы делаете то же самое, что алгоритмы сжатия в вашем смартфоне. Вы не просто упрощаете дробь — вы оптимизируете её, избавляясь от «информационного шума». Чем лучше вы это умеете, тем быстрее и точнее будут работать ваши программы и расчёты в будущем!
Изучение нового
п. 3 (с. 19–20) Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Примеры 1 и 2.
Тренировочные упражнения
№№ 55а, в; 56а, в; 57а, в; 58а, в, д; 61 а.
ИТОГ урока
❓ Сформулируйте правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями: нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: из числителя уменьшаемого нужно вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.
Формулы:
Почему это работает? Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделили целое (размер доли), и при сложении или вычитании таких долей мы просто считаем, сколько всего таких долей у нас получилось. Поэтому сам размер долей (знаменатель) не меняется — меняются только количество долей (числители).
Важный нюанс: после выполнения действия (сложения или вычитания) желательно проверить, можно ли сократить полученную дробь или выделить из неё целую часть.
Задание на дом
п. 3 (с. 19–20)
№№ 56б, г; 58б, г, е; 61б.
ОСОБЫЙ РАЗДЕЛ (для учителя)
Устные упражнения: У–5.
№ 1. (№ 74 а, в). Укажите допустимые значения переменной в выражении:
а) $\frac{3a}{2a+25}$
► Решение: Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $2a + 25 ≠ 0$. Отсюда $2a ≠ \mathbin{-}25$, то есть $a ≠ \mathbin{-}\frac{25}{2}$.
► Ответ: все числа, кроме $\mathbin{-}\frac{25}{2}$ (или можно записать как $(\mathbin{-}\infty; \mathbin{-}12,5) \cup (\mathbin{-}12,5; +\infty)$).
в) $\frac{5x}{3x(x+12)}$
► Решение: Дробь имеет смысл при условии, что знаменатель отличен от нуля: $3x(x+12)≠0$.
Это условие выполняется одновременно для двух уравнений:
$3x≠0 \Rightarrow x≠0$
$x+12≠0 \Rightarrow x≠\mathbin{-}12$
► Ответ: все числа, кроме $0$ и $\mathbin{-}12$.
(Можно записать как $(\mathbin{-}\infty;\mathbin{-}12)\cup(\mathbin{-}12;0)\cup(0;+\infty)$). 📝
№ 2. Найдите значение выражения:
а) $\dfrac{2^7}{4^2}$
► Решение: Представим число $4$ как степень двойки: $4 = 2^2$. Тогда выражение примет вид:
$\dfrac{2^7}{(2^2)^2} = \dfrac{2^7}{2^{2\cdot2}} = \dfrac{2^7}{2^4}$. При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $2^{7\mathbin{-}4}=2^3=8$.
► Ответ: $\boxed{8}$.
б) $\dfrac{25^5}{125^4}$
► Решение: Переведём числитель и знаменатель к одному основанию ($5$). Получаем:
$\dfrac{(5^2)^5}{(5^3)^4}=\dfrac{5^{10}}{5^{12}}=5^{\mathbin{-}2}=\dfrac{1}{5^2}=\dfrac{1}{25}$.
► Ответ: $\boxed{\frac{1}{25}}$.
№ 3. Выполните действие:
а) $\frac{7}{12}+\frac{1}{12}$
► Решение: Складываем дроби с общим знаменателем: $\frac{7+1}{12}=\frac{8}{12}$. Сокращаем на $4$: $\frac{2}{3}$.
► Ответ: $\boxed{\frac{2}{3}}$.
б) $\frac{17}{36}\mathbin{-}\frac{5}{36}$
► Решение: Вычитаем дроби с общим знаменателем: $\frac{17\mathbin{-}5}{36}=\frac{12}{36}$. Сокращаем на $12$: $\frac{1}{3}$.
► Ответ: $\boxed{\frac{1}{3}}$
Вы смотрели: Урок по алгебре 8 класс Макарычева. Гос учебник п.5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень.. Календарное и тематическое планирование учебного процесса 2025/2026 по новой ФОП ООО (согласно приказа Минпросвещения РФ от 09.10.2024 г. № 704). Код материалов: Алгебра 8 класс Урок 5.
