Итоговое повторение по геометрии за 10-11 классы. Решение тестов, вопросов и задач с ответами для УМК Атанасян и др. Поурочное планирование по геометрии для 11 класса. Урок 55. Геометрия 11 Повторение Аксиомы стереометрии.

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 11 классе


 

Итоговое повторение 11 класс
«Аксиомы стереометрии»

Цель урока: повторение аксиом и следствий из них, применение к решению задач.

Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается еще одна основная фигура — плоскость. Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, например:

Аксиома А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
Аксиома А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Геометрия 11 Повторение Аксиомы стереометрии

Некоторые следствия из аксиом:
Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Задача № 1. Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости (рис.5).

Решение: Проведем через данные прямые а и b плоскость α (следствие из аксиом). Прямая с, пересекающая данные прямые имеет с плоскостью α две общие точки М и N (точки пересечения с данными прямыми). По аксиоме А2 эта прямая должна лежать в плоскости α.

Задача № 2. Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости (рис. 6).

Решение: Данная прямая а и точка А определяют плоскость α (следствие из аксиом). Если прямая b проходит через точку А и пересекает прямую а в точке В, то прямая b имеет с плоскостью α две различные общие точки (А и В) и поэтому лежит в указанной плоскости α (А2).

Задача № 3. Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.

Решение: П, точки А, В, С и D лежат в одной плоскости. Тогда прямые АВ и СD, АС и BD были бы параллельными, так что точки А, В, С, D являлись бы вершинами параллелограмма ABCD. Однако диагонали AD и ВС этого параллелограмма должны пересекаться, что противоречит условию задачи.

Задача № 4. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости α. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости α? Ответ обоснуйте.

Решение: (рис. 7) А, В, О ∈ α. Из того, что А, О ∈ α, по А2 следует, что С ∈ α (ибо С ∈ АО). Из того, что В, О ∈ α, по А2 следует, что D ∈ α (ибо D ∈ ВО). Итак, С и D лежат в плоскости α.
ОТВЕТ: да.

Задача № 15. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Решение: (рис. 8) Каждая из трех точек принадлежит сразу двум прямым. Например, через АВ и С ∈ АВ по теореме можно провести единственную плоскость α. Это значит, что все три отрезка АВ, ВС и АС лежат в плоскости α (аксиома А2), поэтому прямые, которым принадлежат эти отрезки, также ∈ α.
Другой случай (рис. 9). I1, l2 ⊂ α, но l3 ⊄ α, хотя и пересекается с l2 и l1 в точке М.

 


Вы смотрели: Итоговое повторение по геометрии за 10-11 классы. Решение тестов, вопросов и задач с ответами для УМК Атанасян и др. Поурочное планирование по геометрии для 11 класса. Урок 55. Геометрия 11 Повторение Аксиомы стереометрии.

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 11 классе по УМК Атанасян.

 

Добавить комментарий

На сайте используется ручная модерация. Срок проверки комментариев: от 1 часа до 3 дней