Самостоятельные работы № 13, 14, 15 с ответами. Геометрия 7 класс УМК Атанасян и др. Темы: Геометрические места точек. Окружность. Касательная к окружности. Симметричные фигуры. Подготовка к контрольной. Код материалов: Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 13-15.

Геометрия 7. Контрольные работы    Геометрия 7. Самостоятельные работы

Геометрия 7 класс (Атанасян)

Самостоятельная работа № 13

Проверяемая тема: Геометрические места точек на плоскости (39, 40)

С-13 Вариант 1

№ 1. Дан угол. Постройте точку М, равноудалённую от сторон угла.
Решение: Точка, которая находится на одинаковом расстоянии от сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла. Чтобы построить такую точку, нужно:
1. Построить биссектрису угла (разделить угол пополам с помощью циркуля и линейки).
2. Взять любую точку на этой биссектрисе (например, точку М). Она будет равноудалена от обеих сторон угла.

№ 2. Даны два смежных угла. Найдите величину угла между их биссектрисами.
ОТВЕТ: 90°.
Решение: Пусть даны два смежных угла. Сумма смежных углов равна 180°. Обозначим один угол как \( \alpha \), а второй как \( \beta \). По свойству смежных углов: \( \alpha + \beta = 180^\circ \). Биссектриса делит каждый угол пополам.
Значит, половина первого угла равна \( \frac{\alpha}{2} \), а половина второго равна \( \frac{\beta}{2} \).
Угол между биссектрисами складывается из этих половинок:
\[
\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ.
\]

С-13 Вариант 2

№ 1. Дан отрезок АВ. Постройте точку М, не лежащую на отрезке АВ так, чтобы МА = ВМ.
Решение: Точка М должна находиться на одинаковом расстоянии от концов отрезка АВ. Все такие точки лежат на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. Чтобы построить точку М:
1. Находим середину отрезка АВ.
2. Через эту середину проводим прямую, перпендикулярную отрезку АВ (с помощью циркуля и линейки).
3. Выбираем на этой прямой любую точку, не лежащую на отрезке АВ. Это и будет точка М.

№ 2. Даны две параллельные прямые а и b. Определите геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от этих прямых.
ОТВЕТ: с || а, с || b, на равном расстоянии между а и b.
Решение: Если две прямые параллельны, то расстояние между ними везде одинаковое. Точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от прямой а и от прямой b, должны лежать ровно посередине между ними. Все такие точки образуют прямую линию, которая проходит посередине и параллельна данным прямым. Эту прямую можно провести, измерив расстояние между а и b и отложив половину этого расстояния от каждой прямой. Геометрическое место точек — это прямая, параллельная данным прямым и находящаяся на равном расстоянии от них (посередине).

Самостоятельная работа № 14

Проверяемая тема: Окружность. Касательная к окружности (41-43)

С-14 Вариант 1

№ 1. Прямая а касается окружности с центром О. Найдите расстояние от центра О до прямой а, если диаметр окружности равен 16 см.
ОТВЕТ: 8 см.
Решение: Расстояние от центра окружности до касательной прямой равно радиусу этой окружности (так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).
1. Находим радиус: \( r = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) см.
2. Расстояние от центра до прямой равно радиусу, то есть 8 см.

№ 2. Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. Хорды АС и ВС равны. Докажите, что треугольник АОС равен треугольнику СОВ.
Доказательство:
1. Так как AB — диаметр, точка O — середина AB. Следовательно, AO = OB (радиусы).
2. AC = BC по условию.
3. OC — общая сторона для треугольников AOC и COB.
4. Получаем, что в треугольниках AOC и COB:
AO = OB,
AC = BC,
OC — общая.
5. По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам) треугольник AOC равен треугольнику COB.

С-14 Вариант 2

№ 1. Отрезок АВ является отрезком касательной к окружности с центром О, где В — точка касания. Найдите длину отрезка АВ, если ∠AOB = 45°, а диаметр окружности равен 22 см.
ОТВЕТ: 11 см.
Решение:
1. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, ∠OBA = 90°.
2. Треугольник AOB — прямоугольный (∠OBA = 90°), ∠AOB = 45° (по условию).
3. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Значит, ∠OAB = 90° – 45° = 45°.
4. Получаем, что треугольник AOB — равнобедренный прямоугольный (углы при основании AB и AO равны). Следовательно, катеты равны: AB = OB.
5. Радиус OB равен половине диаметра: \( OB = \frac{22}{2} = 11 \) см.
6. Значит, AB = OB = 11 см.

№ 2. Из точки А проведены две касательные АВ и АС к окружности с центром О. В и С — точки касания. Докажите, что АВ = АС.
Доказательство:
1. Проведём радиусы OB и OC в точки касания B и C. По свойству касательной, радиус перпендикулярен касательной: \( OB \perp AB \) и \( OC \perp AC \).
2. Рассмотрим треугольники AOB и AOC:
OB = OC (как радиусы одной окружности),
AO — общая сторона,
∠OBA = ∠OCA = 90°.
3. Треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе (AO — общая) и катету (OB = OC).
4. В равных треугольниках соответственные стороны равны. Следовательно, AB = AC.

Самостоятельная работа № 15

С-15 Вариант 1

№ 1. Дан отрезок АВ и точка О, не лежащая на нём. Постройте отрезок, симметричный данному относительно точки О.
Построение:
1. Центральная симметрия относительно точки О означает, что каждая точка исходной фигуры переходит в точку, лежащую на прямой, проходящей через центр симметрии и данную точку, на таком же расстоянии от центра, но с противоположной стороны.
2. Соединяем точку А с центром О прямой линией. Измеряем расстояние АО. Откладываем это расстояние от точки О в противоположную сторону (на продолжении прямой АО за точку О). Ставим точку А₁. Получаем, что О — середина отрезка АА₁.
3. Аналогично поступаем с точкой В: проводим прямую ВО, откладываем расстояние ВО от точки О в другую сторону, получаем точку В₁.
4. Соединяем точки А₁ и В₁. Полученный отрезок А₁В₁ и есть искомый отрезок, симметричный отрезку АВ относительно точки О.

№ 2. Точки А₁, В₁, C₁ симметричны вершинам треугольника АВС относительно прямой а. Постройте треугольник А₁В₁С₁ и найдите его периметр, если АВ = 3,5 см, ВС = 4,5 см, СА = 7 см.
ОТВЕТ: 15 см.
Решение:
1. Осевая симметрия (относительно прямой) является движением. Это значит, что она сохраняет расстояния между точками. Другими словами, если отрезок АВ переходит в отрезок А₁В₁, то их длины равны: А₁В₁ = АВ.
2. Следовательно, треугольник А₁В₁С₁ равен треугольнику АВС (они симметричны).
3. Периметр треугольника АВС: Р(АВС) = АВ + ВС + СА = 3,5 см + 4,5 см + 7 см = 15 см.
4. Так как треугольники равны, их периметры тоже равны: Р(А₁В₁С₁) = Р(АВС) = 15 см.
5. Построение: Для построения треугольника А₁В₁С₁ нужно опустить перпендикуляры из вершин А, В, С на прямую а, затем отложить такие же расстояния по другую сторону прямой и соединить полученные точки.

С-15 Вариант 2

№ 1. Дан отрезок ВС и прямая а. Постройте отрезок, симметричный данному относительно прямой а.
Построение:
1. Осевая симметрия относительно прямой — это зеркальное отражение. Чтобы построить отрезок, симметричный данному, нужно построить точки, симметричные его концам.
2. Из точки В опускаем перпендикуляр на прямую а. Измеряем расстояние от точки В до прямой а. Откладываем такое же расстояние по другую сторону прямой, строго на продолжении перпендикуляра. Ставим точку В₁.
3. Аналогично строим точку С₁, симметричную точке С относительно прямой а.
4. Соединяем точки В₁ и С₁. Полученный отрезок В₁С₁ симметричен отрезку ВС относительно прямой а.

№ 2. Дан треугольник АВС, где АВ = ВС. Постройте треугольник, симметричный данному относительно точки В, и найдите его периметр, если АВ = ВС = 5 см, АС = 6 см.
ОТВЕТ: 16 см.
Решение:
1. Центральная симметрия относительно точки В. Точка В является центром симметрии, поэтому она отобразится сама в себя (В₁ = В).
2. Строим точку А₁, симметричную вершине А. Для этого проводим прямую АВ и откладываем отрезок ВА₁, равный АВ, но в противоположную сторону от точки В. Получаем А₁.
3. Строим точку С₁, симметричную вершине С. Проводим прямую СВ и откладываем отрезок ВС₁, равный ВС, в противоположную сторону от точки В. Получаем С₁.
4. Соединяем точки А₁, В (В₁) и С₁. Получаем треугольник А₁ВС₁.
5. При центральной симметрии расстояния сохраняются. Значит:
— А₁В = АВ = 5 см,
— ВС₁ = ВС = 5 см,
— А₁С₁ = АС = 6 см.
6. Периметр треугольника А₁ВС₁: Р = А₁В + ВС₁ + А₁С₁ = 5 см + 5 см + 6 см = 16 см.

Вы смотрели:  Самостоятельные работы № 13, 14, 15 с ответами. Геометрия 7 класс УМК Атанасян и др. Темы: Геометрические места точек. Окружность. Касательная к окружности. Симметричные фигуры. Подготовка к контрольной. Код материалов: Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 13-15. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».

Геометрия 7. Поурочные планы   Геометрия 7. Самостоятельные работы