Деление с остатком.
Сравнения по модулю

Алгебра 8 класс «Числа и вычисления». Опорный конспект № 2.7 — «Деление с остатком. Сравнения по модулю»: деление с остатком (a = bq + r); определение сравнимых чисел по модулю; свойства сравнений.
Вернуться к Списку конспектов по алгебре

Деление с остатком

Деление с остатком — это нахождение двух чисел: неполного частного и остатка.
📌 Формула деления с остатком:
a = b · q + r, где:

• a — делимое (целое число)
• b — делитель (натуральное число, b ≠ 0)
• q — неполное частное (целое число)
• r — остаток (0 ≤ r < |b|)

💡 Важно: остаток всегда меньше делителя и неотрицателен.

Алгоритм деления с остатком:

1. Найти наибольшее число, кратное b, которое не превосходит a.
2. Записать это число как b · q.
3. Найти остаток: r = a − b · q.

Пример 1: Разделите 17 на 5 с остатком.
Решение:
Наибольшее число, кратное 5 и не превосходящее 17 — это 15 (5 · 3).
17 = 5 · 3 + 2
Ответ: неполное частное 3, остаток 2.

Пример 2: Разделите 43 на 7 с остатком.
Решение:
Наибольшее число, кратное 7 и не превосходящее 43 — это 42 (7 · 6).
43 = 7 · 6 + 1
Ответ: неполное частное 6, остаток 1.

Пример 3: Разделите 100 на 12 с остатком.
Решение:
Наибольшее число, кратное 12 и не превосходящее 100 — это 96 (12 · 8).
100 = 12 · 8 + 4
Ответ: неполное частное 8, остаток 4.

Пример 4: Разделите -17 на 5 с остатком.
Решение:
Наибольшее число, кратное 5 и не превосходящее -17 — это -20 (5 · (-4)).
-17 = 5 · (-4) + 3 (так как -20 + 3 = -17)
Ответ: неполное частное -4, остаток 3.

⚠️ Важно: при делении отрицательных чисел остаток должен быть неотрицательным.

Сравнения по модулю

Определение: Два целых числа a и b называются сравнимыми по модулю m (где m — натуральное число), если их разность a − b делится на m без остатка.
📌 Обозначение: a ≡ b (mod m)
Читается: «a сравнимо с b по модулю m».

Пример 1: 17 ≡ 2 (mod 5), так как 17 − 2 = 15, а 15 ⋮ 5.
Проверка: 17 : 5 = 3 (ост. 2), 2 : 5 = 0 (ост. 2) — остатки равны.

Пример 2: 28 ≡ 4 (mod 6), так как 28 − 4 = 24, а 24 ⋮ 6.
Проверка: 28 : 6 = 4 (ост. 4), 4 : 6 = 0 (ост. 4).

Пример 3: 15 ≡ 3 (mod 4), так как 15 − 3 = 12, а 12 ⋮ 4.
Проверка: 15 : 4 = 3 (ост. 3), 3 : 4 = 0 (ост. 3).

💡 Эквивалентное определение: a ≡ b (mod m) тогда и только тогда, когда a и b дают одинаковые остатки при делении на m.

Свойства сравнений

Все свойства сравнений аналогичны свойствам равенств.

► Свойство 1: Рефлексивность
Любое число сравнимо само с собой: a ≡ a (mod m)

► Свойство 2: Симметричность
Если a ≡ b (mod m), то b ≡ a (mod m)

► Свойство 3: Транзитивность
Если a ≡ b (mod m) и b ≡ c (mod m), то a ≡ c (mod m)

► Свойство 4: Сложение
Если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то:

• a + c ≡ b + d (mod m)
• a − c ≡ b − d (mod m)

► Свойство 5: Умножение
Если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то:

• a · c ≡ b · d (mod m)
• aⁿ ≡ bⁿ (mod m) (для любого натурального n)

► Свойство 6: Сокращение
Если a · c ≡ b · c (mod m) и c взаимно просто с m (НОД(c, m) = 1), то a ≡ b (mod m).

Примеры применения свойств

Пример 1: Найдите остаток от деления 2⁵ + 3⁵ на 5.
Решение:
2 ≡ 2 (mod 5), 2⁵ ≡ 2⁵ (mod 5) = 32 ≡ 2 (mod 5) (так как 32 = 5·6 + 2)
3 ≡ 3 (mod 5), 3⁵ ≡ 3⁵ (mod 5) = 243 ≡ 3 (mod 5) (243 = 5·48 + 3)
2⁵ + 3⁵ ≡ 2 + 3 ≡ 5 ≡ 0 (mod 5)
Ответ: остаток 0.

Пример 2: Найдите остаток от деления 4³ + 7² на 6.
Решение:
4³ = 64, 64 ≡ 4 (mod 6) (так как 64 = 6·10 + 4)
7² = 49, 49 ≡ 1 (mod 6) (так как 49 = 6·8 + 1)
64 + 49 ≡ 4 + 1 ≡ 5 (mod 6)
Ответ: остаток 5.

Пример 3: Докажите, что 2⁴ − 1 делится на 5.
Решение:
2⁴ = 16, 16 ≡ 1 (mod 5) (так как 16 = 5·3 + 1)
2⁴ − 1 ≡ 1 − 1 ≡ 0 (mod 5)
Значит, 2⁴ − 1 ⋮ 5.
Ответ: доказано.

Практические советы

• 👉 При делении с остатком остаток всегда меньше делителя.
• 👉 Для отрицательных чисел остаток неотрицателен (0 ≤ r < |b|).
• 👉 Сравнения по модулю можно складывать, вычитать и умножать как обычные равенства.
• 👉 При нахождении остатка больших чисел заменяй числа на их остатки по модулю.

Таблица остатков для некоторых чисел:

Задачи для самостоятельного решения

Вы смотрели конспект по алгебре на тему «Деление с остатком. Сравнения по модулю».
Вернуться к Списку конспектов по алгебре