Делимость целых чисел

Целое число a делится нацело на целое число b (b ≠ 0), если существует такое целое число k, что a = b · k.
📌 Обозначение: a ⋮ b (читается «a делится на b»).

a — делимое
b — делитель
k — частное

Примеры:

15 ⋮ 3, так как 15 = 3 · 5
36 ⋮ 9, так как 36 = 9 · 4
28 ⋮ 7, так как 28 = 7 · 4
17 не делится на 3, так как 17 ≠ 3 · k (нет целого k)

Простые и составные числа

Простое число — это натуральное число, которое имеет ровно два различных делителя: 1 и само себя.
Примеры простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Составное число — это натуральное число, которое имеет более двух делителей.
Примеры составных чисел:
4 (делители: 1, 2, 4), 6 (1, 2, 3, 6), 8 (1, 2, 4, 8), 9 (1, 3, 9), 10 (1, 2, 5, 10)

💡 Важно: число 1 не является ни простым, ни составным, так как у него только один делитель.

📖 Интересный факт: Простые числа изучали ещё в Древней Греции. Евклид (III век до н.э.) доказал, что простых чисел бесконечно много. До сих пор неизвестно, есть ли закономерность в их распределении — это одна из главных загадок математики.

Таблица простых чисел до 100

Диапазон	Простые числа
1–10	2, 3, 5, 7
11–20	11, 13, 17, 19
21–30	23, 29
31–40	31, 37
41–50	41, 43, 47
51–60	53, 59
61–70	61, 67
71–80	71, 73, 79
81–90	83, 89
91–100	97

📌 Всего простых чисел до 100 — 25.

Чётные и нечётные числа

Чётное число — это целое число, которое делится на 2 (без остатка).
Нечётное число — это целое число, которое не делится на 2 (при делении на 2 даёт остаток 1).

Примеры:

Чётные: 2, 4, 6, 8, 10, 12, …
Нечётные: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
Отрицательные чётные: -2, -4, -6, …
Отрицательные нечётные: -1, -3, -5, …

💡 Формула: чётное число можно записать как 2k, нечётное — как 2k + 1, где k — целое число.

Свойства делимости

1. Делимость суммы.
Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.
Пример: 15 ⋮ 3 и 21 ⋮ 3 → (15 + 21) = 36 ⋮ 3

2. Делимость произведения
Если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и всё произведение делится на это число.
Пример: 15 ⋮ 3 → (15 · 7) = 105 ⋮ 3

📖 Интересный факт: Свойство делимости суммы использовалось в Древнем Египте для проверки правильности вычислений. Если сумма чисел делится на 9, то и сумма их цифр тоже делится на 9 — это основа признака делимости на 9.

Признаки делимости (вводные)

► На 2. Число делится на 2, если его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8).
Примеры:

124 ⋮ 2 (последняя цифра 4)
357 ⋮̸ 2 (последняя цифра 7)

► На 5. Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
Примеры:

125 ⋮ 5, 340 ⋮ 5
132 ⋮̸ 5

► На 10. Число делится на 10, если его последняя цифра 0.
Примеры:

230 ⋮ 10, 1000 ⋮ 10
235 ⋮̸ 10

► На 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Примеры:

123: 1+2+3 = 6 ⋮ 3 → 123 ⋮ 3
457: 4+5+7 = 16 ⋮̸ 3 → 457 ⋮̸ 3

► На 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Примеры:

567: 5+6+7 = 18 ⋮ 9 → 567 ⋮ 9
123: 1+2+3 = 6 ⋮̸ 9 → 123 ⋮̸ 9

Практические советы

👉 Для проверки делимости числа на 3 или 9 складывай цифры, а не само число.
👉 Признаки делимости на 2, 5, 10 проверяются по последней цифре.
👉 Простые числа до 100 полезно запомнить — они часто встречаются в задачах.
👉 Для определения простоты числа проверяй его делимость на простые числа, не превышающие корень из числа.

Таблица признаков делимости

Делитель	Признак
2	Последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8)
3	Сумма цифр делится на 3
5	Последняя цифра 0 или 5
9	Сумма цифр делится на 9
10	Последняя цифра 0

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Определите, простым или составным является число 47.
Задача 2. Докажите, что сумма 18 + 45 + 72 делится на 9.
Задача 3. Какие из чисел делятся на 3: 124, 231, 405, 1567?

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ОТВЕТЫ

Решение задачи 1: Проверяем делимость 47 на простые числа: 2, 3, 5, 7. 47 не делится на 2 (нечётное), на 3 (4+7=11, не делится на 3), на 5 (не заканчивается на 0 или 5), на 7 (47:7 = 6 остаток 5). Значит, 47 — простое число.
Ответ: 47 — простое число

Решение задачи 2: Каждое слагаемое делится на 9: 18:9=2, 45:9=5, 72:9=8. По свойству делимости суммы, вся сумма 18+45+72=135 делится на 9.
Ответ: 135 ⋮ 9

Решение задачи 3: 124: 1+2+4=7, не делится на 3 → 124 ⋮̸ 3
231: 2+3+1=6, делится на 3 → 231 ⋮ 3
405: 4+0+5=9, делится на 3 → 405 ⋮ 3
1567: 1+5+6+7=19, не делится на 3 → 1567 ⋮̸ 3
Ответ: 231 и 405 делятся на 3

📌 ПОДВЕДЁМ ИТОГИ

Делимость — это способность числа делиться на другое число без остатка.
Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само себя.
Составное число имеет больше двух делителей.
Число 1 не является ни простым, ни составным.
Чётные числа делятся на 2, нечётные — не делятся.
Свойства делимости: если каждое слагаемое делится на число, то и сумма делится; если один множитель делится, то и произведение делится.
Признаки делимости позволяют быстро определить, делится ли число на 2, 3, 5, 9, 10, не выполняя деления.

Вы смотрели конспект по алгебре на тему «Делимость целых чисел. Простые и составные. Чётные и нечётные».
Вернуться к Списку конспектов по алгебре