ЗАДАЧИ на Признаки
равенства треугольников

Опорный конспект по геометрии в 7 классе «ЗАДАЧИ на Признаки равенства треугольников» для самостоятельного изучения и подготовки к контрольным, экзаменам и ГИА.

Теория кратко

• 1-й признак. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
• 2-й признак. Если сторона и прилегающие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилегающим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
• 3-й признак. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подробнее смотрите в конспекте «Треугольник. Равенство треугольников».

Примеры решения задач (УМК Погорелов)

Задача № 1. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС равен 10 м?
Решение. Треугольники АОС и BOD равны по первому признаку равенства треугольников (рис. 46). У них углы АОС и BOD равны как вертикальные, а ОА = ОВ и ОС = OD потому, что точка О является серединой отрезков АВ и CD. Из равенства треугольников АОС и BOD следует равенство их сторон АС и BD. А так как по условию задачи АС = 10 м, то и BD = 10 м.

Задача № 2. У треугольников АВС и A₁B₁C₁ АВ = A₁B₁, АС = A₁C₁, АС = А₁С₁, ∠С = 90°. Докажите, что △АВС = △А₁В₁С₁.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Примеры решения задач (УМК Смирновы)

ПРИМЕР 1. На рисунке 8.2 АВ = АС, АЕ = AD. Докажите, что BD = CE.
Решение. Треугольники ABD и ACE равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС, АЕ = AD, угол A — общий). Следовательно, BD = CE.

ПРИМЕР 2. Две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника. Следует ли из этого, что эти треугольники равны?
Решение. Нет, не следует. Заметим, что в формулировке признака равенства треугольников требуется, чтобы соответственно равные углы лежали между соответственно равными сторонами. Если это не так, то треугольники могут быть не равны. Примеры таких треугольников показаны на рисунке 8.3.

ПРИМЕР 3. На рисунке 9.2 ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4. Будут ли треугольники CDA и ABC равны?
Решение. Да. Треугольники CDA и ABC равны по второму признаку равенства треугольников (AC — общая сторона и ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4 по условию).

ПРИМЕР 4. На рисунке 9.3 ∠DBC = ∠DAC, BO = AO. Докажите, что ∠C = ∠D и AC = BD.
Решение. Треугольники AOC и BOD равны по второму признаку равенства треугольников (AO = BO, ∠OAC = ∠OBD, ∠AOC = ∠BOD). Следовательно, ∠C = ∠D и AC = BD.

ПРИМЕР 5. На рисунке 11.2 АВ = CD и BD = AC. Докажите, что: а) ∠BAC = ∠CDB; б) ∠CAD = ∠ADB.
Решение. Треугольники ABC и DCB равны по третьему признаку (AB = DC, AC = DB, BC — общая сторона). Следовательно, ∠BAC = ∠CDB. Аналогично треугольники ABD и DCA равны по третьему признаку (AB = DC, AC = DB, AD — общая сторона). Следовательно, ∠CAD = ∠ADB.

ПРИМЕР 6. В треугольниках ABC и EFG равны стороны AB и EF, BC и FG, а также медианы CD и GH, проведённые соответственно к сторонам AB и EF. Докажите, что треугольники равны.
Решение. Треугольники BCD и FGH равны по третьему признаку равенства треугольников (BC = FG, CD = GH по условию, BD = FH как половины равных сторон). Следовательно, ∠B = ∠F, и, значит, треугольники ABC и EFG равны по первому признаку равенства треугольников (BC = FG, AB = EF, ∠B = ∠F).

Примеры решения задач (УМК Вертикаль)

ПРИМЕР 1. ★☆☆ Диагональ BD четырехугольника ABCD образует равные углы с его сторонами AB и CD. Известно, что AB = CD. Докажите, что BC = AD (рис. 35).

ПРИМЕР 2. ★☆☆ В треугольнике ABC равны стороны AB и BC. Точки M и K — середины этих сторон. Докажите, что AK = CM (рис. 37).

ПРИМЕР 3. ★☆☆ Противоположные стороны выпуклого четырёхугольника попарно равны. Докажите, что его противоположные углы также равны (рис. 28).

ПРИМЕР 4. ★★☆ Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отрезки AB и CD равны (рис. 39).

ПРИМЕР 5. ★★☆ В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны. Его диагонали тоже равны и пересекаются в точке O. Докажите, что AO = DO.

ПРИМЕР 6. ★★★ В выпуклом пятиугольнике ABCDE угол ACB равен углу ECD, угол CBE равен углу CDA, а сторона BC равна стороне CD (рис. 41). Докажите, что AB = ED.

ПРИМЕР 7. ★★★ На клетчатой бумаге взяли точки A, B, C, D и E так, как это показано на рисунке. Докажите, что угол ACB равен углу DCE (рис. 32).

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Признаки равенства треугольников». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: Равнобедренный треугольник + ЗАДАЧИ по теме
• Вернуться к Списку конспектов по геометрии