Квадратные неравенства:
2) Решение методом интервалов

Алгебра 9 класс «Уравнения и неравенства». Опорный конспект № 8.4 — Квадратные неравенства. Решение методом интервалов: разложение квадратного трёхчлена на множители, метод интервалов для квадратных и рациональных неравенств, строгие и нестрогие неравенства.
Вернуться к Списку конспектов по алгебре

Квадратное неравенство — это неравенство вида ax² + bx + c > 0 (или <, ≥, ≤), где a ≠ 0.
📌 Решить квадратное неравенство — значит найти все значения x, при которых квадратный трёхчлен принимает положительные (или отрицательные) значения.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Квадратный трёхчлен ax² + bx + c можно разложить на множители, если известны его корни.
📌 Формула разложения:

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂),

где x₁ и x₂ — корни уравнения ax² + bx + c = 0.
⚠️ Если D < 0, трёхчлен на множители с действительными коэффициентами не раскладывается.

Пример 1: Разложите на множители: x² − 5x + 6.
Решение:
Корни: x₁ = 2, x₂ = 3.
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

Пример 2: Разложите на множители: 2x² − 8x + 6.
Решение:
2x² − 8x + 6 = 0 → x² − 4x + 3 = 0 → x₁ = 1, x₂ = 3.
2x² − 8x + 6 = 2(x − 1)(x − 3)

Пример 3: Разложите на множители: x² + 2x − 3.
Решение:
Корни: x₁ = -3, x₂ = 1.
x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1)

Пример 4: Разложите на множители: -x² + 5x − 6.
Решение:
-x² + 5x − 6 = -(x² − 5x + 6) = -(x − 2)(x − 3)

Метод интервалов для квадратных неравенств

Метод интервалов — это способ решения неравенств, основанный на знаке выражения на каждом промежутке между корнями.
Алгоритм метода интервалов:

1. Перенести все члены в левую часть, чтобы справа был 0.
2. Разложить левую часть на множители (если возможно).
3. Найти корни (нули) каждого множителя.
4. Отметить корни на координатной прямой в порядке возрастания.
5. Определить знак выражения на каждом промежутке.
6. Выбрать промежутки с нужным знаком.
7. Записать ответ (учитывая строгость неравенства).

Пример 1: Решите неравенство x² − 5x + 6 > 0 методом интервалов.
Решение:
1) x² − 5x + 6 > 0
2) (x − 2)(x − 3) > 0
3) Корни: x₁ = 2, x₂ = 3
4) Отмечаем на прямой: 2, 3
5) Проверяем знаки:
• x < 2: например, x = 0 → (0−2)(0−3) = (-2)(-3) = 6 > 0 → (+)
• 2 < x < 3: например, x = 2,5 → (0,5)(-0,5) = -0,25 < 0 → (−) • x > 3: например, x = 4 → (2)(1) = 2 > 0 → (+)
6) Нам нужно > 0 → промежутки со знаком (+)
Ответ: x ∈ (−∞; 2) ∪ (3; +∞)

Пример 2: Решите неравенство -x² + 3x − 2 ≥ 0 методом интервалов.
Решение:
1) -x² + 3x − 2 ≥ 0 → умножим на -1 (меняем знак): x² − 3x + 2 ≤ 0
2) (x − 1)(x − 2) ≤ 0
3) Корни: x₁ = 1, x₂ = 2
4) Отмечаем: 1, 2
5) Знаки:
• x < 1: (+) • 1 < x < 2: (−) • x > 2: (+)
6) Нам нужно ≤ 0 → промежуток со знаком (−)
Ответ: x ∈ [1; 2]

Пример 3: Решите неравенство (x + 3)(x − 1) < 0.
Решение:
Корни: x₁ = -3, x₂ = 1.
Знаки:
• x < -3: например, x = -4 → (-1)(-5) = 5 > 0 → (+)
• -3 < x < 1: например, x = 0 → (3)(-1) = -3 < 0 → (−) • x > 1: например, x = 2 → (5)(1) = 5 > 0 → (+)
Нам нужно < 0 → промежуток со знаком (−)
Ответ: x ∈ (-3; 1)

Решение методом интервалов

Метод интервалов для рациональных неравенств

Метод интервалов применим и к дробно-рациональным неравенствам. Дополнительно нужно учитывать ОДЗ (знаменатель ≠ 0).

Алгоритм для рациональных неравенств:

1. Перенести всё в левую часть.
2. Привести к общему знаменателю.
3. Разложить числитель и знаменатель на множители.
4. Найти нули числителя и нули знаменателя.
5. Отметить все точки на прямой (нули знаменателя — всегда выколотые).
6. Расставить знаки на промежутках.
7. Выбрать нужные промежутки с учётом строгости и ОДЗ.

Пример: Решите неравенство (x − 1)/(x + 2) > 0.
Решение:
1) Уже приведено к нужному виду.
2) Нули числителя: x = 1. Нули знаменателя: x = -2 (выколотая точка).
3) Отмечаем: -2 (выколотая), 1 (обычная).
4) Знаки:
• x < -2: например, x = -3 → (-4)/(-1) = 4 > 0 → (+)
• -2 < x < 1: например, x = 0 → (-1)/(2) = -0,5 < 0 → (−) • x > 1: например, x = 2 → (1)/(4) = 0,25 > 0 → (+)
5) Нам нужно > 0 → промежутки со знаком (+)
Ответ: x ∈ (−∞; -2) ∪ (1; +∞)

Строгие и нестрогие неравенства

💡 Важно: для дробно-рациональных неравенств нули знаменателя всегда выколотые (не входят в ответ), даже если неравенство нестрогое.

Практические советы

• 👉 При разложении на множители всегда выноси общий множитель и коэффициент a.
• 👉 В методе интервалов проверяй знак на каждом промежутке, подставляя любое число из промежутка.
• 👉 Для рациональных неравенств не забывай про ОДЗ — нули знаменателя всегда выколотые.
• 👉 Если неравенство нестрогое (≥ или ≤), корни числителя входят в ответ.
• 👉 Если в выражении есть чётная степень множителя, знак при переходе через корень не меняется.
• 👉 Для двойных неравенств решай как систему и находи пересечение.
• 👉 Для неравенств вида (x−a)(x−b) и (x−a)/(x−b) используй правило интервалов или запоминай стандартные промежутки.

Решение методом интервалов

Задачи для самостоятельного решения

Вы смотрели конспект по алгебре на тему «Квадратные неравенства: 2) Решение методом интервалов».
Вернуться к Списку конспектов по алгебре