Квадратные неравенства:
1) Решение графическим методом

Алгебра 9 класс «Уравнения и неравенства». Опорный конспект № 8.3 — Квадратные неравенства. Решение графическим методом: понятие квадратного неравенства, график квадратичной функции и его использование для решения неравенств, интерпретация ответа.
Вернуться к Списку конспектов по алгебре

Квадратное неравенство — это неравенство вида ax² + bx + c > 0 (или <, ≥, ≤), где a ≠ 0.
📌 Решить квадратное неравенство — значит найти все значения x, при которых квадратный трёхчлен принимает положительные (или отрицательные) значения.

💡 Ключевая идея: знак квадратного трёхчлена зависит от расположения параболы относительно оси x.

График квадратичной функции

Функция y = ax² + bx + c — это парабола.

• Если a > 0 — ветви параболы направлены вверх.
• Если a < 0 — ветви параболы направлены вниз.

Точки пересечения с осью 0Х (нули функции) — это корни уравнения ax² + bx + c = 0.
Количество корней:

• D > 0 — два корня (парабола пересекает ось x в двух точках).
• D = 0 — один корень (парабола касается оси x).
• D < 0 — корней нет (парабола не пересекает ось x).

• x₀ = –b / (2a) (абсцисса)
• y₀ = f(x₀) (ордината, подстановка x₀ в уравнение функции).

Графический метод решения квадратных неравенств

Алгоритм решения квадратного неравенства графическим методом:

1. Рассмотреть функцию y = ax² + bx + c.
2. Найти корни соответствующего уравнения ax² + bx + c = 0.
3. Отметить корни на оси x.
4. Определить направление ветвей параболы (по знаку a).
5. Схематично изобразить параболу.
6. Выбрать промежутки, где функция имеет нужный знак.

Случай 1: D > 0 (два корня)

Пример: Решите неравенство x² − 5x + 6 > 0.
Решение:
1) y = x² − 5x + 6, a = 1 > 0 → ветви вверх.
2) Корни: x² − 5x + 6 = 0 → x₁ = 2, x₂ = 3.
3) Отмечаем точки 2 и 3 на оси x.
4) Парабола пересекает ось в точках 2 и 3, ветви вверх.
5) Знак функции: положительна левее 2 и правее 3, отрицательна между 2 и 3.
6) Нам нужно > 0 → x < 2 или x > 3.
Ответ: x ∈ (−∞; 2) ∪ (3; +∞)

Пример: Решите неравенство x² − 5x + 6 < 0.
Решение:
Та же парабола. Нам нужно < 0 → между корнями.
Ответ: x ∈ (2; 3)

Случай 2: D = 0 (один корень)

Пример: Решите неравенство x² − 6x + 9 > 0.
Решение:
1) y = x² − 6x + 9 = (x − 3)², a = 1 > 0 → ветви вверх.
2) Корень: x = 3 (D = 0).
3) Парабола касается оси в точке 3, выше оси на всей остальной области.
4) Знак функции: положительна при x ≠ 3, равна 0 при x = 3.
5) Нам нужно > 0 → x ≠ 3.
Ответ: x ∈ (−∞; 3) ∪ (3; +∞)

Пример: Решите неравенство x² − 6x + 9 ≥ 0.
Решение:
Та же парабола. Нам нужно ≥ 0 → все x.
Ответ: x ∈ (−∞; +∞)

Случай 3: D < 0 (нет корней)

Пример 1: Решите неравенство x² + x + 1 > 0.
Решение:
1) y = x² + x + 1, a = 1 > 0 → ветви вверх.
2) D = 1 − 4 = -3 < 0 → корней нет. 3) Парабола полностью лежит выше оси x (так как a > 0 и D < 0).
4) Знак функции: положительна при всех x.
Ответ: x ∈ (−∞; +∞)

Пример 2: Решите неравенство x² + x + 1 < 0.
Решение:
Та же парабола. Она всегда > 0, значит < 0 не выполняется ни при каком x.
Ответ: решений нет (∅)

Пример 3: Решите неравенство -x² + 2x − 2 > 0.
Решение:
1) y = -x² + 2x − 2, a = -1 < 0 → ветви вниз.
2) D = 4 − 8 = -4 < 0 → корней нет.
3) Парабола полностью лежит ниже оси x (a < 0, D < 0). 4) Знак функции: отрицательна при всех x. 5) Нам нужно > 0 → решений нет.
Ответ: решений нет (∅)

Квадратные неравенства

Интерпретация ответа

Ответ записывается в виде промежутков (или их объединения).
Таблица знаков квадратного трёхчлена:

Практические советы

• 👉 Всегда определяй направление ветвей параболы по знаку a.
• 👉 Для строгих неравенств (> или <) корни не входят в ответ (круглые скобки).
• 👉 Для нестрогих неравенств (≥ или ≤) корни входят в ответ (квадратные скобки).
• 👉 Если D < 0 и a > 0 — трёхчлен всегда положителен; если a < 0 — всегда отрицателен.
• 👉 При D = 0 трёхчлен не меняет знак, кроме точки касания.

Задачи для самостоятельного решения

Вы смотрели конспект по алгебре на тему «Квадратные неравенства. Решение графическим методом».
Вернуться к Списку конспектов по алгебре