Квадратный корень.
Арифметический квадратный корень

Алгебра 8 класс «Числа и вычисления». Опорный конспект № 8.1 — Квадратный корень. Арифметический квадратный корень.

• определение квадратного корня и арифметического квадратного корня
• уравнение x² = a (при a ≥ 0)
• извлечение корня с помощью калькулятора, оценка значений

Вернуться к Списку конспектов по алгебре

Что такое квадратный корень?

Квадратным корнем из числа a называется число, квадрат которого равен a.
📌 Обозначение: √a
⚠️ Важно: у уравнения x² = a (при a > 0) есть два корня: положительный и отрицательный.
Примеры:

• √16 = ±4, так как 4² = 16 и (-4)² = 16
• √25 = ±5, так как 5² = 25 и (-5)² = 25
• √0 = 0 (только один корень)

💡 Квадратный корень из отрицательного числа не существует в множестве действительных чисел (так как квадрат любого числа неотрицателен).

Арифметический квадратный корень

Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.
📌 Обозначение: √a (без знака ± перед корнем).
❗️ Важно: арифметический квадратный корень всегда неотрицателен!
Примеры:

• √16 = 4 (а не ±4)
• √25 = 5 (а не ±5)
• √0 = 0
• √9 = 3

Сравнение двух определений:

Уравнение x² = a (при a ≥ 0)

Решение уравнения x² = a зависит от значения a:

Случай 1: a > 0

Уравнение имеет два корня: x = ±√a
Примеры:

• x² = 9 → x = ±3
• x² = 25 → x = ±5
• x² = 2 → x = ±√2

Случай 2: a = 0

Уравнение имеет один корень: x = 0
Пример:

• x² = 0 → x = 0

Случай 3: a < 0

Уравнение не имеет решений в действительных числах.
Пример:

• x² = -4 → нет корней (так как квадрат числа не может быть отрицательным)

Извлечение квадратного корня

Точные значения (таблица квадратов). Полезно запомнить квадраты чисел:

• 1² = 1 → √1 = 1
• 2² = 4 → √4 = 2
• 3² = 9 → √9 = 3
• 4² = 16 → √16 = 4
• 5² = 25 → √25 = 5
• 6² = 36 → √36 = 6
• 7² = 49 → √49 = 7
• 8² = 64 → √64 = 8
• 9² = 81 → √81 = 9
• 10² = 100 → √100 = 10
• 11² = 121 → √121 = 11
• 12² = 144 → √144 = 12
• 13² = 169 → √169 = 13
• 14² = 196 → √196 = 14
• 15² = 225 → √225 = 15

Приближённое извлечение с помощью калькулятора. Если число не является точным квадратом, корень можно найти приближённо.
Примеры:

• √2 ≈ 1,41421356…
• √3 ≈ 1,73205081…
• √5 ≈ 2,23606798…
• √7 ≈ 2,64575131…
• √10 ≈ 3,16227766…

💡 Большинство калькуляторов имеют кнопку √ для вычисления корня.

Оценка значений квадратных корней

Если число не является точным квадратом, его корень можно оценить между двумя соседними целыми числами.
Алгоритм оценки:

1. Найти два соседних целых числа, квадраты которых находятся по разные стороны от данного числа.
2. Определить, между какими числами лежит корень.

Примеры:

• √2: 1² = 1 < 2 < 4 = 2² → 1 < √2 < 2
• √10: 3² = 9 < 10 < 16 = 4² → 3 < √10 < 4
• √50: 7² = 49 < 50 < 64 = 8² → 7 < √50 < 8
• √100 = 10 (точное значение)

⚠️ Для более точной оценки можно использовать десятичные дроби:

• √2 ≈ 1,4 (так как 1,4² = 1,96 < 2, а 1,5² = 2,25 > 2)
• √3 ≈ 1,7 (1,7² = 2,89 < 3, а 1,8² = 3,24 > 3)
• √5 ≈ 2,2 (2,2² = 4,84 < 5, а 2,3² = 5,29 > 5)

Практические советы

• 👉 Запомни таблицу квадратов чисел от 1 до 15 — это ускорит вычисления.
• 👉 При решении уравнения x² = a не забывай про два корня: x = ±√a.
• 👉 Арифметический корень всегда неотрицательный — это важно при упрощении выражений.
• 👉 Для оценки корня используй ближайшие точные квадраты.
• 👉 На калькуляторе корень из отрицательного числа не вычисляется — калькулятор выдаёт ошибку.

Задачи для самостоятельного решения

Вы смотрели конспект по алгебре на тему «Квадратный корень. Арифметический квадратный корень».
Вернуться к Списку конспектов по алгебре