Линейные неравенства с одной переменной

Алгебра 9 класс «Уравнения и неравенства». Опорный конспект № 3.2 — «Линейные неравенства с одной переменной. Системы линейных неравенств»: решение линейных неравенств; изображение на координатной прямой; системы линейных неравенств, пересечение и объединение множеств. Двойные неравенства, решение неравенств вида (x−a)(x−b)… и (x−a)/(x−b)…
Вернуться к Списку конспектов по алгебре

Что такое линейное неравенство?

Линейное неравенство с одной переменной — это неравенство вида ax + b > 0 (или <, ≥, ≤), где a ≠ 0.
📌 После преобразований линейное неравенство приводится к виду:

• x > c
• x < c
• x ≥ c
• x ≤ c

💡 Решение неравенства — это множество всех значений переменной, при которых неравенство становится верным.

Решение линейных неравенств

Алгоритм решения линейного неравенства почти такой же, как и у линейного уравнения, но с одним важным отличием. Алгоритм:

1. Перенести все члены с переменной в левую часть, без переменной — в правую.
2. Привести подобные слагаемые.
3. Разделить обе части на коэффициент при переменной.
4. ⚠️ Если коэффициент отрицательный — поменять знак неравенства на противоположный.
5. Записать ответ в виде промежутка.

Пример 1: Решите неравенство 3x + 5 > 14.
Решение:
3x > 14 − 5
3x > 9
x > 3
Ответ: x ∈ (3; +∞)

Пример 2: Решите неравенство 5x − 3 ≤ 2x + 9.
Решение:
5x − 2x ≤ 9 + 3
3x ≤ 12
x ≤ 4
Ответ: x ∈ (−∞; 4]

Пример 3: Решите неравенство −2x + 7 > 1.
Решение:
−2x > 1 − 7
−2x > −6
x < 3 (делим на -2, знак меняется!)
Ответ: x ∈ (−∞; 3)

Пример 4: Решите неравенство 4x − 7 ≥ 2x + 5.
Решение:
4x − 2x ≥ 5 + 7
2x ≥ 12
x ≥ 6
Ответ: x ∈ [6; +∞)

Изображение на координатной прямой

Решение линейного неравенства удобно изображать на координатной прямой.
Обозначения:

• Круглая скобка ( ) или пустая точка — число не входит в промежуток (строгое неравенство).
• Квадратная скобка [ ] или закрашенная точка — число входит в промежуток (нестрогое неравенство).

Примеры изображения:

Пример 1: x > 3

        ○────────────────→
        3

Пример 2: x ≤ 4

        ●────────────────→
        4

Пример 3: -2 < x ≤ 5

        ○────────●────────→
       -2        5

Пример 4: x < -1 или x ≥ 3

        ←────────○  ●────────→
                 -1  3

Системы линейных неравенств

Система неравенств — это несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно.
📌 Решение системы — это пересечение решений всех неравенств, входящих в систему.

Алгоритм решения системы:

1. Решить каждое неравенство системы.
2. Изобразить решения на одной координатной прямой.
3. Найти пересечение (общую часть) всех решений.
4. Записать ответ.

Пример 1: Решите систему:
{ x > 2
{ x ≤ 7

Решение:
Решение первого: x ∈ (2; +∞)
Решение второго: x ∈ (−∞; 7]
Пересечение: x ∈ (2; 7]
Ответ: x ∈ (2; 7]

Пример 2: Решите систему:
{ 2x − 3 > 1
{ 3x + 1 ≤ 10

Решение:
Первое: 2x > 4 → x > 2
Второе: 3x ≤ 9 → x ≤ 3
Пересечение: x ∈ (2; 3]
Ответ: x ∈ (2; 3]

Пример 3: Решите систему:
{ x + 5 ≥ 3
{ 2x − 7 < 1

Решение:
Первое: x ≥ -2
Второе: 2x < 8 → x < 4
Пересечение: x ∈ [-2; 4)
Ответ: x ∈ [-2; 4)

👉 Примеры оформления решений задач в тетради:

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ТЕКСТ

Объединение решений

Иногда требуется найти объединение решений нескольких неравенств (когда подходит хотя бы одно).

Пример: Решите неравенство (x < -3) или (x > 5).
Решение:
Это объединение двух промежутков:
x ∈ (−∞; -3) ∪ (5; +∞)
Ответ: (−∞; -3) ∪ (5; +∞)

Разница между системой и объединением:

Неравенства вида (x−a)(x−b) …

Для неравенств вида (x − a)(x − b) > 0 (или <, ≥, ≤) существует универсальное правило:
📌 Правило:

• Если a < b, то (x − a)(x − b) > 0 при x < a или x > b
• (x − a)(x − b) < 0 при a < x < b

Пример 1: Решите неравенство (x − 1)(x − 4) > 0.
Решение:
a = 1, b = 4, a < b. Произведение > 0 при x < 1 или x > 4.
Ответ: x ∈ (−∞; 1) ∪ (4; +∞)

Пример 2: Решите неравенство (x + 2)(x − 5) ≤ 0.
Решение:
(x + 2)(x − 5) = (x − (-2))(x − 5)
a = -2, b = 5, a < b.
Произведение ≤ 0 при -2 ≤ x ≤ 5.
Ответ: x ∈ [-2; 5]

Пример 3: Решите неравенство (x − 3)(x − 3) > 0.
Решение:
(x − 3)² > 0. Квадрат всегда ≥ 0, равен 0 при x = 3.
Значит, > 0 при x ≠ 3.
Ответ: x ∈ (−∞; 3) ∪ (3; +∞)

Неравенства вида (x−a)/(x−b) …

Для дробных неравенств вида (x − a)/(x − b) > 0 (или <, ≥, ≤) нужно учитывать ОДЗ: x ≠ b.
📌 Правило:
Дробь (x − a)/(x − b) имеет те же знаки, что и произведение (x − a)(x − b), но точка x = b всегда выколотая.

Пример 1: Решите неравенство (x − 1)/(x − 4) > 0.
Решение:
ОДЗ: x ≠ 4.
Дробь > 0 при x < 1 или x > 4 (как и произведение).
Ответ: x ∈ (−∞; 1) ∪ (4; +∞)

Пример 2: Решите неравенство (x + 2)/(x − 5) ≤ 0.
Решение:
ОДЗ: x ≠ 5.
Дробь ≤ 0 при -2 ≤ x < 5 (точка 5 выколотая, так как знаменатель не может быть равен 0).
Ответ: x ∈ [-2; 5)

Пример 3: Решите неравенство (x − 3)/(x + 1) > 0.
Решение:
ОДЗ: x ≠ -1.
Нули числителя: x = 3. Нули знаменателя: x = -1.
Знаки: (+) на (−∞; -1), (−) на (-1; 3), (+) на (3; +∞)
Ответ: x ∈ (−∞; -1) ∪ (3; +∞)

Двойные неравенства

Двойное неравенство — это запись вида a < x < b, которая означает, что x одновременно больше a и меньше b.
📌 Решение двойного неравенства — это пересечение двух неравенств.

Пример 1: Решите двойное неравенство -3 < 2x + 1 < 7.
Решение:
Решаем как систему:
{ 2x + 1 > -3
{ 2x + 1 < 7 Первое: 2x > -4 → x > -2
Второе: 2x < 6 → x < 3
Пересечение: -2 < x < 3
Ответ: x ∈ (-2; 3)

Пример 2: Решите двойное неравенство -5 ≤ 3x − 2 ≤ 4.
Решение:
{ 3x − 2 ≥ -5 → 3x ≥ -3 → x ≥ -1
{ 3x − 2 ≤ 4 → 3x ≤ 6 → x ≤ 2
Пересечение: -1 ≤ x ≤ 2
Ответ: x ∈ [-1; 2]

Пример 3: Решите двойное неравенство 0 < (x − 3)/(x + 1) < 2.
Решение:
Нужно решить систему:
{ (x − 3)/(x + 1) > 0
{ (x − 3)/(x + 1) < 2

Первое: x ∈ (−∞; -1) ∪ (3; +∞) (из предыдущего примера)
Второе: (x − 3)/(x + 1) < 2 → (x − 3)/(x + 1) − 2 < 0 → (x − 3 − 2x − 2)/(x + 1) < 0 → (-x − 5)/(x + 1) < 0 → (x + 5)/(x + 1) > 0
Решаем: x ∈ (−∞; -5) ∪ (-1; +∞)
Пересечение: (−∞; -1) ∪ (3; +∞) ∩ (−∞; -5) ∪ (-1; +∞) = (−∞; -5) ∪ (3; +∞)
Ответ: x ∈ (−∞; -5) ∪ (3; +∞)

📖 Интересный факт: Двойные неравенства часто используются в физике и инженерии для задания допустимых диапазонов значений. Например, в технике размеры деталей задаются в виде допусков: 10 ± 0,5 мм → 9,5 ≤ x ≤ 10,5.

Практические советы

• 👉 При решении линейных неравенств следи за знаком коэффициента при переменной.
• 👉 На координатной прямой пустая точка — строгое неравенство, закрашенная — нестрогое.
• 👉 В системе неравенств пересечение — это общая часть всех промежутков.
• 👉 Если пересечение пусто — система не имеет решений.
• 👉 При записи ответа используй круглые скобки для строгих неравенств и квадратные — для нестрогих.

Задачи для самостоятельного решения

        ○────────●────────→
       -4        2

Вы смотрели конспект по алгебре на тему «Линейные неравенства с одной переменной. Системы линейных неравенств».
Вернуться к Списку конспектов по алгебре