Пропорции и пропорциональные зависимости

Алгебра 7 класс. Опорный конспект № 1.5 — Пропорции и пропорциональные зависимости (прямая и обратная): основное свойство пропорции, прямая и обратная пропорциональность (примеры из физики, геометрии, быта), решение задач на движение, работу (простые случаи).
Вернуться к Списку конспектов по алгебре

Что такое пропорция?

Пропорция — это равенство двух отношений: a : b = c : d или a/b = c/d.
📌 Числа a и d называют крайними членами пропорции, а b и c — средними.

Основное свойство пропорции

💡 Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних:

a · d = b · c

Пример: Проверим пропорцию 2 : 5 = 6 : 15
2 · 15 = 30, 5 · 6 = 30 → 30 = 30 → пропорция верна.

⚠️ Из основного свойства следует: если a : b = c : d, то можно найти неизвестный член пропорции.

Пример: Найти x в пропорции 3 : x = 6 : 10
3 · 10 = x · 6 → 30 = 6x → x = 5

Прямая пропорциональность

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.
📌 Формула: y = kx, где k — коэффициент пропорциональности.

Примеры из реальной жизни:

• Чем больше товара покупаешь, тем больше платишь (цена фиксирована).
• Чем больше скорость, тем больше расстояние за одно и то же время.
• Чем больше времени работаешь с одинаковой производительностью, тем больше работы сделаешь.

Пример задачи: За 3 часа велосипедист проехал 45 км. Какое расстояние он проедет за 5 часов с той же скоростью?
Решение (пропорция):
3 часа — 45 км
5 часов — x км
3 : 5 = 45 : x → 3x = 225 → x = 75 (км)
Ответ: 75 км.

Обратная пропорциональность

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
📌 Формула: y = k/x или xy = k.

Примеры из реальной жизни:

• Чем больше рабочих, тем меньше времени нужно на выполнение работы.
• Чем выше скорость, тем меньше времени нужно на тот же путь.
• Чем длиннее сторона прямоугольника при фиксированной площади, тем меньше другая сторона.

Пример задачи: 5 рабочих выполняют заказ за 12 дней. За сколько дней выполнят этот заказ 6 рабочих?
Решение (пропорция):
5 рабочих — 12 дней
6 рабочих — x дней
Обратная пропорция: 5 · 12 = 6 · x → 60 = 6x → x = 10 (дней)
Ответ: 10 дней.

Как отличить прямую и обратную пропорциональность?

💡 Совет: в задачах внимательно читай условие: если одна величина растёт и другая тоже — это прямая пропорциональность. Если одна растёт, а другая падает — обратная.

Решение задач на движение

Основная формула: путь = скорость · время

S = v · t

При постоянной скорости S и t прямо пропорциональны.
При постоянном пути v и t обратно пропорциональны.

Пример: Автомобиль проезжает расстояние за 4 часа со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью он должен ехать, чтобы проехать это расстояние за 3 часа?
Решение:
S = 60 · 4 = 240 км
v = S/t = 240/3 = 80 (км/ч)
Ответ: 80 км/ч.

Решение задач на работу

Основная формула: работа = производительность · время

A = P · t

При постоянной производительности A и t прямо пропорциональны.
При фиксированном объёме работы P и t обратно пропорциональны.

Пример: Один трактор вспахивает поле за 6 дней. За сколько дней вспашут это поле 3 таких же трактора?
Решение:
1 трактор — 6 дней
3 трактора — x дней
Обратная пропорция: 1 · 6 = 3 · x → 6 = 3x → x = 2 (дня)
Ответ: 2 дня.

Практические советы

• 👉 Всегда проверяй тип зависимости перед составлением пропорции.
• 👉 В пропорции крайние и средние члены нельзя переставлять в обратной пропорциональности — только умножать «крест-накрест».
• 👉 Если в задаче несколько величин, можно использовать тройное правило (последовательные пропорции).
• 👉 Проверяй ответ на правдоподобность: если рабочих больше, время должно уменьшиться.

Задачи для самостоятельного решения

Вы смотрели конспект по алгебре на тему «Пропорции и пропорциональные зависимости (прямая и обратная)».
Вернуться к Списку конспектов по алгебре