Категории
Теги

Прямая. Окружность. Угол

Наглядная геометрия 7 класс. Опорный конспект № 1 «Прямая. Окружность. Угол». 

Геометрия изучает геометрические фигуры и их свойства. Простейшие (основные) фигуры: точка, прямая, плоскость. Вы знаете и другие фигуры: луч, отрезок, угол, окружность, треугольник, параллелепипед.

Математическая точка не бывает большой или маленькой. Она не имеет размеров. Математическая точка — это воображаемая точка, хотя мы ее и рисуем.

Что такое прямая? На этот вопрос нельзя ответить. Прямую можно представить как туго натянутую бесконечную нить или как тонкий луч света, пролетающий в бесконечном пространстве. Прямая не имеет толщины, но бесконечна в обе стороны. Прямая на плоскости разбивает плоскость на две полуплоскости.

Если на прямой отметить точку, то получим два луча. Два луча, выходящие из одной точки, образуют угол. Если на прямой взять две точки, то получим отрезок. Отрезки, соединенные последовательно концами, образуют ломаную. Замкнутая ломаная образует многоугольник.

Одно из самых первых свойств: «Через две точки проходит единственная прямая». Его принимают без доказательства. Свойства, которые принимают без доказательства, называются аксиомами. Свойства, истинность которых устанавливается путем логических рассуждений, называются теоремами.

Прямая. Окружность. Угол

Опорный конспект «Прямая. Окружность. Угол»

Свойства прямой. Через две точки можно провести единственную прямую. Если две прямые пересекаются, то в единственной точке. В двух точках пересекаться они не могут, так как через две точки можно провести единственную прямую.

Прямые называются параллельными, если они ЛЕЖАТ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ и не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Требование, чтобы прямые лежали в одной плоскости, обязательно. Существуют прямые, которые не пересекаются и в то же время не параллельны. Они называются скрещивающимися (представьте реку и мост через нее). На рисунке это две прямые, проходящие через указанные ребра куба.

Части прямой — это отрезок и луч.

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Равными называются отрезки, которые совпадают при наложении. Если на отрезке отметить точку, то она разобьет его на два отрезка, сумма длин которых равна длине данного отрезка.

Луч — это часть прямой, ограниченная одной точкой. Поэтому он бесконечен в одну сторону. Два луча называются противоположными, если они имеют общее начало и дополняют друг друга до прямой.

Фигура, которую можно составить из отрезков, последовательно соединенных концами, — ломаная. Если начало первого отрезка совпадает с концом последнего, то такая ломаная называется замкнутой. Если звенья ломаной не пересекаются и соседние звенья не лежат на одной прямой, то она называется простой. Изображенная на рисунке звездочка — замкнутая ломаная из пяти звеньев, которая не является простой ломаной.

Окружность — это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной. Важная часть определения ИЗ ВСЕХ ТОЧЕК ПЛОСКОСТИ. Если опустить «из всех точек», то можно получить дугу окружности. Она тоже состоит из точек плоскости, равноудаленных от данной. А если опустить «плоскости», то можно получить сферу. Она тоже состоит из точек, равноудаленных от данной. С окружностью связано семь элементов: радиус, дуга, хорда, диаметр, круг, сектор, сегмент. Иногда путают круг и окружность. Окружность — ЭТО ЛИНИЯ, а круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Два луча, выходящие из одной точки, образуют угол. Равными называются углы, которые совпадают при наложении. Биссектрисой угла называется луч, который выходит из вершины и делит его на два равных угла.

Различают развернутый, прямой, острый, тупой и полный углы. Развернутым называется угол, образованный противоположными лучами. Развернутый угол равен 180°, прямой — 90°, острый — меньше 90°, тупой — больше 90°, но меньше 180°. Если увеличивать развернутый угол, то получим сверхтупой угол, а когда стороны угла совпадут — полный угол. Полный угол равен 360° (веер, раскрытый до предела). Ясно, что прямой угол получится, если провести биссектрису развернутого угла.

Если внутри угла из его вершины провести луч, то он разобьет данный угол на два угла, сумма градусных мер которых равна градусной мере данного угла.

Если у двух углов одна сторона общая, а две другие — противоположные лучи, то это СМЕЖНЫЕ углы. Сумма смежных углов равна 180° (они образуют развернутый угол).

При пересечении двух прямых образуется две пары противоположных углов — это ВЕРТИКАЛЬНЫЕ углы (их стороны — противоположные лучи). Вертикальные углы равны (углы 1 и 3 в сумме дают 180° как смежные, и углы 2 и 3 в сумме дают 180° как смежные, отсюда ∠1 = ∠2).

Перпендикулярными называются прямые, которые пересекаются под прямым углом. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, один конец которого является точкой их пересечения. Он называется основанием перпендикуляра. Через точку, лежащую на прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. То же касается точки, не лежащей на прямой. Очень важной является теорема о двух перпендикулярах: две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой (если бы они пересекались, то из точки на прямую можно было бы опустить два перпендикуляра, что невозможно).

Ответы на вопросы к теме «Прямая. Окружность. Угол»

  1. Через две точки проходит единственная прямая. Если две прямые пересекаются, то в единственной точке. В двух точках пересекаться они не могут, так как через две точки проходит единственная прямая.
  2. Параллельными называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
  3. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками.
  4. Равными называются отрезки, которые совпадают при наложении.
  5. Если на отрезке отметить точку, то она разобьет его на два отрезка, сумма длин которых равна длине данного отрезка.
  6. Луч — это часть прямой, ограниченная одной точкой. Противоположными лучами называются два луча, которые имеют общее начало и дополняют друг друга до прямой.
  7. Ломаной называется фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных концами. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений и никакие два соседних звена не лежат на одной прямой. Ломаная называется замкнутой, если у нее начало первого отрезка совпадает с концом последнего.
  8. Окружность — множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Радиусом называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой, или длина этого отрезка. Дуга — это часть окружности, ограниченная двумя точками. Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — это хорда, проходящая через центр. Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами. Сегмент — это часть круга, ограниченная хордой.
  9. Угол — это фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.
  10. Равными называются углы, которые совпадают при наложении.
  11. Биссектрисой угла называется луч, который выходит из вершины и делит его на два равных угла.
  12. Развернутым называется угол, стороны которого являются противоположными лучами.
  13. Один градус — это часть развернутого угла. Развернутый угол равен 180°.
  14. Прямым называется угол, равный 90°. Острым называется угол, меньший 90°. Тупым называется угол, больший 90°, но меньший 180°. Полным называется угол, стороны которого совпадают и который равен 360°.
  15. Если внутри угла из его вершины провести луч, то он разобьет угол на два угла, сумма градусных мер которых равна градусной мере данного угла.
  16. Аксиома — верное утверждение, которое принимается без доказательства.
  17. Теорема — верное утверждение, требующее доказательства путем логического рассуждения.
  18. Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие — противоположные лучи.
  19. Сумма смежных углов равна 180° (см. на рисунке теорему 1). Доказательство. Общая сторона разбивает развернутый угол на два угла, сумма градусных мер которых равна градусной мере развернутого угла. А развернутый угол равен 180°.
  20. Вертикальными называются два угла, стороны которых являются противоположными лучами (дополнительными полупрямыми).
  21. Вертикальные углы равны (см. на рисунке теорему 2). Доказательство. Углы 1 и 3 — смежные, поэтому в сумме дают 180°. Углы 2 и 3 — смежные, поэтому в сумме дают 180°. Значит, углы 1 и 2 равны.
  22. Перпендикулярными называются прямые, которые пересекаются под прямым углом. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок перпендикулярной прямой, один конец которого является точкой их пересечения. Он называется основанием перпендикуляра.
  23. Из точки на прямой можно восстановить (восставить) единственный перпендикуляр к данной прямой (см. на рисунке теорему 3). Доказательство. Отложим прямой угол от правого луча прямой. Получим перпендикуляр. Отложим прямой угол от левого луча. Если стороны прямых углов не совпадут, то получится три угла, которые образуют развернутый угол и при этом в сумме больше 180°.
  24. Из точки вне прямой можно опустить единственный перпендикуляр на данную прямую (см. на рисунке теорему 4). Доказательство. 1. Совместим верхнюю полуплоскость с нижней (перегнем плоскость по прямой). Данная точка совместится с точкой в нижней полуплоскости. Соединим эти точки. Получим перпендикуляр (так как углы 1 и 2 совпали, то они равны и являются смежными, значит, каждый равен 90°). 2. Если из точки можно опустить еще один перпендикуляр, то, перегнув плоскость еще раз, получим еще два равных прямых угла, а значит, еще одну прямую, проходящую через две точки, что невозможно.
  25. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой (см. на рисунке теорему 5). Доказательство. Если бы они пересекались, то из точки можно было бы опустить два перпендикуляра на данную прямую. А это невозможно.

Это конспект по геометрии «Прямая. Окружность. Угол». Выберите дальнейшие действия:

 

Добавить комментарий

На сайте используется ручная модерация. Срок проверки комментариев: от 1 часа до 3 дней