Рациональные числа: сравнение, упорядочивание, числовая прямая, модуль

Алгебра 7 класс. Опорный конспект № 1.1 — Рациональные числа: сравнение, упорядочивание, числовая прямая, модуль (Повторение математики 5-6 классов).

• повторение и систематизация дробей (обыкновенные, десятичные, смешанные)
• сравнение дробей разными способами
• изображение на прямой, нахождение |a|

Вернуться к Списку конспектов по алгебре

Что такое рациональное число?

Рациональное число — это число, которое можно записать в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное (n ≠ 0).
📌 К рациональным числам относятся:

• целые числа (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …)
• обыкновенные дроби (½, ¾, 7/5, …)
• десятичные дроби (0,5; 2,75; -3,14; …)
• смешанные числа (1½, -2¾, …)

💡 Важно: любое целое число тоже рациональное, потому что его можно записать как дробь со знаменателем 1 (например, 5 = 5/1).
Замкнутость. Множество рациональных чисел замкнуто относительно основных арифметических операций: при сложении, вычитании, умножении и делении (кроме деления на ноль) между рациональными числами результат тоже будет рациональным.
Иерархия. Если выстроить от простого к сложному: натуральные числа (N) ⊂ целые числа (Z) ⊂ рациональные числа (Q). А вместе с иррациональными числами они образуют множество действительных чисел (R).

Модуль числа

Модулем числа a (обозначается |a|) называется расстояние от точки, изображающей это число на числовой прямой, до начала отсчёта (точки 0).
💡 Модуль всегда неотрицателен: |a| ≥ 0.
Свойства модуля:

• |a| = a, если a ≥ 0
• |a| = -a, если a < 0
• |a| = |-a| (противоположные числа имеют равные модули)
• |a · b| = |a| · |b|
• |a/b| = |a|/|b| (b ≠ 0)

Примеры: |5| = 5, |-3| = 3, |0| = 0, |-½| = ½,
❗️ Важно: модуль числа показывает только расстояние до нуля, без учёта знака.

Рациональные числа

Сравнение рациональных чисел

Чтобы сравнить два рациональных числа, нужно привести их к общему виду (обыкновенные дроби или десятичные).

Пример 1. Сравним $\frac{3}{4}$ и $0{,}6$.
Переведём $\frac{3}{4}$ в десятичную дробь: $\frac{3}{4} = 0{,}75$.
Теперь сравниваем: $0{,}75 > 0{,}6$, значит, $\frac{3}{4} > 0{,}6$.

Пример 2. Сравним $-0{,}25$ и $-\frac{1}{3}$.
Переведём $-0{,}25$ в обыкновенную дробь: $-0{,}25 = -\frac{25}{100} = -\frac{1}{4}$.
Сравним $-\frac{1}{4}$ и $-\frac{1}{3}$. Приведём к общему знаменателю: $-\frac{3}{12}$ и $-\frac{4}{12}$.
Так как $-3 > -4$, то $-\frac{3}{12} > -\frac{4}{12}$, значит, $-0{,}25 > -\frac{1}{3}$.

Сравнение обыкновенных дробей

• С одинаковым знаменателем: больше та дробь, у которой числитель больше.
• С разными знаменателями: привести к общему знаменателю и сравнить числители.
• Смешанные числа: сначала сравнить целые части, если они равны — сравнивать дробные части.

Пример 3. Сравним $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{8}$.
Знаменатели одинаковые. Так как $5 > 3$, то $\frac{5}{8} > \frac{3}{8}$.

Пример 4. Сравним $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{5}$.
Найдём общий знаменатель: НОК$(3, 5) = 15$.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$, $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$.
$10 > 9$, значит, $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$, следовательно, $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$.

Пример 5. Сравним $3\frac{2}{5}$ и $2\frac{4}{5}$.
Целые части: $3 > 2$, значит, $3\frac{2}{5} > 2\frac{4}{5}$ (дальше дробные части можно не сравнивать).

Пример 6. Сравним $4\frac{1}{3}$ и $4\frac{3}{8}$.
Целые части равны ($4 = 4$), сравниваем дробные: $\frac{1}{3}$ и $\frac{3}{8}$.
Приведём к общему знаменателю: НОК$(3, 8) = 24$.
$\frac{1}{3} = \frac{8}{24}$, $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$.
$8 < 9$, значит, $\frac{8}{24} < \frac{9}{24}$, следовательно, $4\frac{1}{3} < 4\frac{3}{8}$.

Пример 7 (с отрицательными). Сравним $-2\frac{1}{2}$ и $-2\frac{3}{4}$.
Целые части одинаковы ($-2 = -2$). Сравниваем дробные части: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$, $\frac{3}{4}$.
$\frac{2}{4} < \frac{3}{4}$, но для отрицательных чисел всё наоборот: чем больше модуль дробной части, тем меньше само число.
Значит, $-2\frac{1}{2} > -2\frac{3}{4}$.

Сравнение десятичных дробей.
Сравниваем поразрядно, начиная с целой части. Если целые части равны, сравниваем десятые, сотые и т.д.

Пример 8. Сравним $5{,}37$ и $5{,}4$.
Целые части равны: $5 = 5$.
Сравниваем десятые: $3 < 4$, значит, $5{,}37 < 5{,}4$.

Пример 9. Сравним $12{,}503$ и $12{,}5029$.
Целые: $12 = 12$.
Десятые: $5 = 5$.
Сотые: $0 = 0$.
Тысячные: $3 > 2$, значит, $12{,}503 > 12{,}5029$ (дальше не смотрим).

Сравнение обыкновенной и десятичной дроби.
⚠️ Удобнее перевести десятичную дробь в обыкновенную (или наоборот) и сравнить.

Пример 10. Сравним $\frac{5}{6}$ и $0{,}8$.
Вариант А: переведём $\frac{5}{6}$ в десятичную: $\frac{5}{6} \approx 0{,}833…$.
$0{,}833… > 0{,}8$, значит, $\frac{5}{6} > 0{,}8$.
Вариант Б: переведём $0{,}8$ в дробь: $0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
Сравним $\frac{5}{6}$ и $\frac{4}{5}$. Общий знаменатель $30$:
$\frac{5}{6} = \frac{25}{30}$, $\frac{4}{5} = \frac{24}{30}$.
$25 > 24$, значит, $\frac{5}{6} > \frac{4}{5}$, то есть $\frac{5}{6} > 0{,}8$.

Пример 11. Сравним $\frac{7}{8}$ и $0{,}85$.
$\frac{7}{8} = 0{,}875$.
$0{,}875 > 0{,}85$, значит, $\frac{7}{8} > 0{,}85$.

Рациональные числа

Числовая прямая

Числовая прямая — это прямая, на которой выбраны начало отсчёта (точка 0), положительное направление (обычно вправо) и единичный отрезок.

📌 Каждому рациональному числу соответствует единственная точка на числовой прямой.

• Положительные числа расположены справа от нуля.
• Отрицательные числа — слева от нуля.
• Чем правее точка, тем больше число.