Свойства арифметического
квадратного корня

Алгебра 8 класс «Числа и вычисления». Опорный конспект № 2.2 — Свойства арифметического квадратного корня: √(ab) = √a · √b; √(a/b) = √a / √b (b ≠ 0); вынесение множителя из-под знака корня и внесение под знак корня.
Вернуться к Списку конспектов по алгебре

Основные свойства арифметического квадратного корня

Все свойства справедливы для неотрицательных значений переменных (a ≥ 0, b ≥ 0).

1. Корень из произведения

Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел:

√(a · b) = √a · √b

(при a ≥ 0, b ≥ 0)
Примеры:

• √(4 · 9) = √4 · √9 = 2 · 3 = 6 (проверка: √36 = 6)
• √(25 · 16) = √25 · √16 = 5 · 4 = 20
• √(2 · 8) = √2 · √8 = √16 = 4 (можно сразу: √16 = 4)
• √(3 · 12) = √3 · √12 = √36 = 6

2. Корень из частного

Корень из частного неотрицательных чисел равен частному корней из этих чисел:

√(a / b) = √a / √b

(при a ≥ 0, b > 0)
Примеры:

• √(25/9) = √25 / √9 = 5/3
• √(16/4) = √16 / √4 = 4/2 = 2 (проверка: √4 = 2)
• √(49/16) = 7/4
• √(9/25) = 3/5

Вынесение множителя из-под знака корня

Если подкоренное выражение можно представить как произведение, где один из множителей является полным квадратом, его можно вынести из-под корня.

Алгоритм вынесения:

1. Разложить подкоренное выражение на множители.
2. Выделить множитель, который является квадратом целого числа или выражения.
3. Извлечь корень из этого множителя и записать его перед корнем.

Примеры:

• √12 = √(4 · 3) = √4 · √3 = 2√3
• √18 = √(9 · 2) = √9 · √2 = 3√2
• √32 = √(16 · 2) = √16 · √2 = 4√2
• √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2
• √75 = √(25 · 3) = √25 · √3 = 5√3
• √98 = √(49 · 2) = √49 · √2 = 7√2

Вынесение с буквенными выражениями:

💡 Если под корнем есть степень с чётным показателем, её можно вынести:

• √(a²) = |a| (но при a ≥ 0: √(a²) = a)
• √(a⁴) = a² (при a ≥ 0)
• √(x²y) = x√y (при x ≥ 0)
• √(a³) = √(a² · a) = a√a (при a ≥ 0)

Примеры:

• √(9x²) = √9 · √(x²) = 3x (при x ≥ 0)
• √(16a⁴) = 4a²
• √(25x⁶) = 5x³

Внесение множителя под знак корня

Чтобы внести множитель под знак корня, нужно возвести его в квадрат и умножить на подкоренное выражение.

Алгоритм внесения:

1. Возвести множитель, стоящий перед корнем, в квадрат.
2. Умножить полученное число на подкоренное выражение.
3. Записать под общий знак корня.

a√b = √(a² · b)

(при a ≥ 0, b ≥ 0)
Примеры:

• 2√3 = √(4 · 3) = √12
• 3√2 = √(9 · 2) = √18
• 5√3 = √(25 · 3) = √75
• 4√5 = √(16 · 5) = √80
• ½√8 = √(¼ · 8) = √2

Внесение с буквенными выражениями:

• a√b = √(a²b) (при a ≥ 0)
• 3x√y = √(9x²y)
• 2a√(3b) = √(4a² · 3b) = √(12a²b)

Сравнение вынесения и внесения

⚠️ Это обратные операции — одна проверяет другую.

Упрощение выражений с корнями

Для упрощения выражений используй все свойства в комплексе:

Пример 1: Упростите: √48 + √12
Решение:
√48 = √(16 · 3) = 4√3
√12 = √(4 · 3) = 2√3
4√3 + 2√3 = 6√3
Ответ: 6√3

Пример 2: Упростите: √(75/3) · √(4)
Решение:
√(75/3) = √25 = 5
√4 = 2
5 · 2 = 10
Ответ: 10

Пример 3 (с буквами):
Упростите: √(50a⁴) при a ≥ 0
Решение:
√(50a⁴) = √(25 · 2 · a⁴) = √25 · √2 · √(a⁴) = 5 · √2 · a² = 5a²√2
Ответ: 5a²√2

Практические советы

• 👉 При вынесении множителя всегда проверяй, что он является полным квадратом.
• 👉 При работе с буквенными выражениями учитывай область определения (подкоренное выражение ≥ 0).
• 👉 Внесение под корень — удобный способ сравнивать выражения с разными множителями.
• 👉 Не путай: √(a²) = |a|, а не a (если не оговорено, что a ≥ 0).

Задачи для самостоятельного решения

Вы смотрели конспект по алгебре на тему «Свойства арифметического квадратного корня».
Вернуться к Списку конспектов по алгебре