Свойства степени с натуральным показателем

Алгебра 7 класс. Опорный конспект № 1.7 — Свойства степени с натуральным показателем: умножение и деление степеней с одинаковым основанием, возведение степени в степень, упрощение выражений (числовых и буквенных).
Вернуться к Списку конспектов по алгебре

Основные свойства степени

📌 Все свойства степени с натуральным показателем работают для любых рациональных оснований (положительных, отрицательных, дробных) и натуральных показателей.

1. Умножение степеней с одинаковым основанием

При умножении степеней с одинаковым основанием основание остаётся тем же, а показатели складываются:

aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ

Примеры:

• 2³ · 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128
• 5² · 5⁵ = 5²⁺⁵ = 5⁷ = 78 125
• x³ · x² = x⁵
• (-3)² · (-3)⁴ = (-3)⁶ = 729

2. Деление степеней с одинаковым основанием

При делении степеней с одинаковым основанием основание остаётся тем же, а показатели вычитаются (из показателя делимого вычитаем показатель делителя):

aⁿ : aᵐ = aⁿ⁻ᵐ

(при a ≠ 0, n > m)
Примеры:

• 2⁷ : 2⁴ = 2⁷⁻⁴ = 2³ = 8
• 5⁶ : 5² = 5⁶⁻² = 5⁴ = 625
• x⁵ : x² = x³
• 10⁸ : 10⁵ = 10³ = 1000

💡 Важно: при делении показатель в знаменателе вычитается из показателя в числителе.

3. Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание остаётся тем же, а показатели перемножаются:

(aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ

Примеры:

• (2³)² = 2³·² = 2⁶ = 64
• (5²)⁴ = 5²·⁴ = 5⁸ = 390 625
• (x²)³ = x⁶
• (3⁴)² = 3⁸ = 6561

Дополнительные свойства

4. Степень произведения

При возведении в степень произведения каждый множитель возводится в эту степень:

(ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ

Примеры:

• (2 · 3)² = 2² · 3² = 4 · 9 = 36 (проверка: 6² = 36)
• (5x)³ = 5³ · x³ = 125x³
• (-2 · 3)⁴ = (-2)⁴ · 3⁴ = 16 · 81 = 1296

5. Степень частного (дроби)

При возведении в степень частного (дроби) числитель и знаменатель возводятся в эту степень:

(a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

(при b ≠ 0)
Примеры:

• (⅔)³ = 2³/3³ = 8/27
• (x/y)² = x²/y²
• (-½)⁴ = (-1)⁴/2⁴ = 1/16

Сводная таблица свойств

Упрощение выражений со степенями

Для упрощения выражений используй свойства в разном порядке:

1. Сначала примени свойства степени произведения/частного.
2. Затем свойства умножения/деления степеней с одинаковым основанием.
3. В конце — возведение степени в степень.

Пример 1 (числовое): Упростите: (2⁵ · 2³) : 2⁶
Решение:
2⁵ · 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸
2⁸ : 2⁶ = 2⁸⁻⁶ = 2² = 4
Ответ: 4

Пример 2 (буквенное): Упростите: (x⁴ · x²)³
Решение:
Сначала умножение в скобках: x⁴ · x² = x⁴⁺² = x⁶
Затем возведение в степень: (x⁶)³ = x⁶·³ = x¹⁸
Ответ: x¹⁸

Пример 3 (смешанное): Упростите: (2x²)³ · x⁴
Решение:
(2x²)³ = 2³ · (x²)³ = 8 · x²·³ = 8x⁶
8x⁶ · x⁴ = 8 · x⁶⁺⁴ = 8x¹⁰
Ответ: 8x¹⁰

Практические советы

• 👉 Следи за основанием: свойства работают только при одинаковых основаниях.
• 👉 При делении показатель вычитается, а не делится.
• 👉 При возведении степени в степень показатели умножаются.
• 👉 Не путай: 2³ · 2² = 2⁵, а (2³)² = 2⁶.
• 👉 Если в выражении есть коэффициенты, сначала возводи их в степень отдельно.

Типичные ошибки:

• ❌ 2³ · 2² = 4⁵ (нельзя складывать разные основания!)
• ❌ 2⁶ : 2² = 2³ (неправильно вычли: 6-2=4, а не 3)
• ❌ (x²)³ = x⁵ (показатели нужно умножать: 2·3=6, а не складывать)

Задачи для самостоятельного решения

Вы смотрели конспект по алгебре на тему «Свойства степени с натуральным показателем».
Вернуться к Списку конспектов по алгебре