Сравнение иррациональных чисел.
Числовая прямая

Алгебра 8 класс «Числа и вычисления». Опорный конспект № 2.4 — «Сравнение иррациональных чисел. Числовая прямая»: сравнение чисел, содержащих квадратные корни; приближённая оценка корней; расположение на числовой прямой.
Вернуться к Списку конспектов по алгебре

Сравнение чисел, содержащих квадратные корни

Существует несколько способов сравнения иррациональных чисел и выражений с корнями.

Способ 1: Сравнение подкоренных выражений

Для чисел вида √a и √b (где a ≥ 0, b ≥ 0):
Если a > b, то √a > √b.
Примеры:

• √7 > √5, так как 7 > 5
• √10 < √12, так как 10 < 12
• √2 < √3, так как 2 < 3

Способ 2: Сравнение квадратов

Если числа положительные, то можно возвести их в квадрат и сравнить квадраты.
Пример: Сравните 2√3 и 3√2.
Решение:
(2√3)² = 4 · 3 = 12
(3√2)² = 9 · 2 = 18
12 < 18, значит 2√3 < 3√2

Способ 3: Внесение под корень

Внести множители под знак корня и сравнить подкоренные выражения.
Пример: Сравните 3√5 и 4√3.
Решение:
3√5 = √(9 · 5) = √45
4√3 = √(16 · 3) = √48
45 < 48, значит 3√5 < 4√3

Способ 4: Приближённое сравнение

Если корни не извлекаются точно, можно использовать приближённые значения.
Пример: Сравните √8 и 2,8.
Решение:
√8 ≈ 2,828… (так как 2,8² = 7,84 < 8, а 2,9² = 8,41 > 8)
2,828 > 2,8, значит √8 > 2,8

Приближённая оценка корней

Чтобы оценить значение корня, нужно найти два соседних целых числа (или десятичные дроби), между которыми находится корень.

Алгоритм оценки:

1. Найти ближайший меньший точный квадрат.
2. Найти ближайший больший точный квадрат.
3. Записать двойное неравенство.
4. При необходимости уточнить с помощью десятичных дробей.

Примеры:

• √2: 1² = 1 < 2 < 4 = 2² → 1 < √2 < 2
• √10: 3² = 9 < 10 < 16 = 4² → 3 < √10 < 4
• √30: 5² = 25 < 30 < 36 = 6² → 5 < √30 < 6
• √50: 7² = 49 < 50 < 64 = 8² → 7 < √50 < 8
• √99: 9² = 81 < 99 < 100 = 10² → 9 < √99 < 10

Уточнение до десятых:
Чтобы найти корень с точностью до десятых, проверяем квадраты десятых долей:

Пример: √5
2,2² = 4,84 < 5
2,3² = 5,29 > 5
Значит, 2,2 < √5 < 2,3 → √5 ≈ 2,2

Пример: √8
2,8² = 7,84 < 8
2,9² = 8,41 > 8
Значит, 2,8 < √8 < 2,9 → √8 ≈ 2,8

💡 Для более точного приближения можно проверять сотые, тысячные и т.д.

Расположение на числовой прямой

Чтобы расположить иррациональные числа на числовой прямой, нужно оценить их значения и отметить между соответствующими целыми числами.

Пример: расположите числа в порядке возрастания:
√2, 1,5, √3, 2, √5
Решение:
Оценим каждый корень:

• √2 ≈ 1,41
• √3 ≈ 1,73
• √5 ≈ 2,24

Располагаем в порядке возрастания:

1 < √2 < 1,5 < √3 < 2 < √5

На числовой прямой:

0    1    √2  1,5   √3   2    √5   3
|----|----|----|----|----|----|----|----|
     ↑    ↑    ↑    ↑    ↑    ↑

Пример: сравните √3 и √5 — 1
Решение:
Оценим: √3 ≈ 1,73, √5 ≈ 2,24 → √5 — 1 ≈ 1,24
1,73 > 1,24, значит √3 > √5 — 1

Сравнение смешанных выражений

Иногда нужно сравнить выражения, содержащие корень и целое число.

Пример 1: Сравните √15 и 4.
Решение:
4² = 16, а √15 ≈ 3,87
3,87 < 4, значит √15 < 4
Или: √15 < √16 = 4

Пример 2:
Сравните 3√2 и √18.
Решение:
3√2 = √(9 · 2) = √18
Значит, 3√2 = √18 (это равные числа)

Практические советы

• 👉 Для сравнения чисел с корнями возводи в квадрат или вноси под корень.
• 👉 Запоминай приближённые значения часто встречающихся корней: √2 ≈ 1,41; √3 ≈ 1,73; √5 ≈ 2,24.
• 👉 На числовой прямой сначала отметь целые числа, затем — корни между ними.
• 👉 При оценке корня используй ближайшие точные квадраты.

Таблица приближённых значений:

Задачи для самостоятельного решения

Вы смотрели конспект по алгебре на тему «Сравнение иррациональных чисел. Числовая прямая».
Вернуться к Списку конспектов по алгебре