Треугольник. Равенство треугольников

Опорный конспект по геометрии «Треугольник. Равенство треугольников: определения и доказательства» для самостоятельного изучения и подготовки к контрольным, экзаменам и ГИА.

Треугольник — фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами.

Треугoльник — жесткая фигура. Это свойство используют при строительстве мостовых арок, конструировании подъемных кранов и т.д. Свойства треугольника системно изложены в «Началах» Эвклида. Знак для обозначения треугольника еще в I в. н.э. применил древнегреческий учений Герон, а знак Δ применяется с IV в. н.э.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

► Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Медиана делит стороны пополам. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и в этой точке делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

► Биссектриса треугольника делит угол пополам. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон. Три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

► Высотой треугольника называется отрезок, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону. В тупоугольном треугольнике высота опускается на продолжение стороны. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. В случае тупого угла в одной точке пересекаются продолжения высот.

Особенности равнобедренного треугольника

Определение. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.
Теорема (свойство углов равнобедренного треугольника): В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Обратная теорема (признак равнобедренного треугольника): Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

1. Теорема (свойство биссектрисы равнобедренного треугольника): В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
2. Теорема (свойство высоты равнобедренного треугольника): Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
3. Теорема (свойство медианы равнобедренного треугольника): Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Равные треугольники

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.
⚠️ Аксиома существования треугольника, равного данному.
Каким бы ни был треугольник, существует треугольник, равный ему в заданном расположении относительно данной полупрямой.

⚠️ Свойства равных треугольников
1. В равных треугольниках соответствующие стороны равны.
2. В равных треугольниках соответствующие углы равны.
3. Периметры равных треугольников равны.
4. Площади равных треугольников равны.
5. Против равных сторон лежат равные углы.
6. Против равных углов лежат равные стороны.

Признаки равенства треугольников

Признаки равенства треугольников — одна из основных теорем геометрии. Треугольник на евклидовой плоскости однозначно можно определить по следующим тройкам основных элементов:

• Первый признак — по двум сторонам и углу между ними.
• Второй признак – по двум углам и прилежащей стороне.
• Третий признак – по трём сторонам.

⚠️ Смотрите также:
Решение ЗАДАЧ по теме «Признаки равенства треугольников».

Доказательства признаков равенства треугольников

ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК (по двум сторонам и углу между ними):
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ВТОРОЙ ПРИЗНАК (по стороне и прилежащим к ней углам):
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК (по трём сторонам):
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Дополнительно (углубленное изучение)

★★★ Дополнительные признаки равенства треугольников (нет в учебниках базового уровня)
• Если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне другого треугольника, такие треугольники равны.
• Если два угла и высота, проведенная к стороне, к которой прилегают эти углы, одного треугольника, соответственно равны двум углам и высоте, проведенной к стороне, к которой прилегают эти углы, другого треугольника, то такие треугольники равны.
• Если сторона, высота и медиана, проведенные к стороне одного треугольника, соответственно равны стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне другого треугольника, то эти треугольники равны.
• Если медиана и углы, на которые она делит угол одного треугольника, соответственно равны медиане и углам, на которые она делит угол другого треугольника, эти треугольники равны (признак равенства треугольников по медиане и двум углам, на которые эта медиана разбивает угол треугольника).

Это конспект по геометрии на тему «Треугoльник. Равенство треугольников». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: ЗАДАЧИ на Признаки равенства треугольников
• Вернуться к Списку конспектов по геометрии