Уроки 3-5. Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Поурочное планирование по алгебре для 8 класса. Ориентировано на работу с УМК Макарычев. Алгебра 8 класс. Просвещение. Глава 1. Рациональные дроби. § 1. Рациональные дроби и их свойства (5 ч). Уроки 3-5. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.


 

Уроки 3-5. Основное свойство дроби.
Сокращение дробей

Цели: рассмотреть основное свойство дроби и отработать навыки сокращения дробей и приведения дробей к заданному знаменателю.
Планируемые результаты: вспомнить основное свойство дроби, отработать навыки сокращения дробей.
Тип уроков: уроки изучения нового материала, урок-практикум.

ХОД УРОКОВ

I. Сообщение темы и целей уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

  1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
  2. Контроль усвоения материала (письменный опрос + тест).

III. Работа по теме уроков

План уроков

  1. Основное свойство дроби.
  2. Тождество.
  3. Приведение дроби к заданному знаменателю.
  4. Сокращение дробей.
  5. Способы разложения многочленов на множители.
   1. Основное свойство дроби

Свойства рациональных дробей и операции с ними очень похожи на свойства числовых дробей и действия с ними. Напомним известное вам основное свойство обыкновенной дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная дробь, т. е. равенство a/b = ac/bc верно при любых натуральных значениях а, b и с.

Это равенство справедливо не только при натуральных, но и при любых других значениях переменных а, b и с, при которых знаменатель не равен нулю, т. е. при b ≠ 0 и с ≠ 0. Докажем это утверждение.

Пусть дробь a/b = m. Тогда по определению частного имеем а = bm. Умножим обе части этого равенства на число с и получим ас = (bm) • с. На основании переместительного и сочетательного свойств умножения запишем: ас = (bс) • m. Так как b ≠ 0 и с ≠ 0 (т. е. ≠ 0), то выразим из этого равенства величину m = ac/bc. Кроме этого равенства, есть равенство m = a/b. Приравняем правые части этих выражении и получим требуемое равенство a/b = ac/bc.

Заметим, что основное свойство дроби выполняется и в том случае, когда с — любое ненулевое выражение.

   2. Тождество

Уточним некоторые понятия, изученные в 7 классе. Ранее тождеством называлось равенство, которое выполнялось при любых значениях переменных. Тождествами, например, назывались все формулы сокращенного умножения и т. д. Равенство a/b = ac/bc верно при всех значениях переменных, при которых его левая и правая части имеют смысл, т. е. при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства также называют тождествами. Очевидно, что ранее данное понятие тождества является частным случаем более общего определения.

В общем случае тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Два выражения, принимающие равные значения при всех допустимых для них значениях переменных, называют тождественно равными. Замену одного такого выражения другим называют тождественным преобразованием выражения.

Было доказано, что равенство a/b = ac/bc верно при всех допустимых значениях переменных. Поэтому по определению это равенство является тождеством. Такое тождество называют основным свойством дроби.

   3. Приведение дроби к заданному знаменателю

Основное свойство дроби используют для ее приведения к заданному знаменателю.

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Заметим, что приведение дробей к заданному знаменателю используется при сложении и вычитании дробей.

   4. Сокращение дробей

Поменяем в равенстве a/b = ac/bc левую и правую части местами и получим тождество ac/bc = a/c. Это равенство позволяет заменить дробь вида ac/bc  более простой тождественно равной дробью a/c, т. е. сократить дробь ac/bc на общий множитель с числителя и знаменателя.

Пример 4

Заметим, что при сокращении дроби надо выделять наибольший общий множитель числителя и знаменателя. В рассмотренном примере множитель 7а2b2 были наибольшим. Для выражений 35а2b2 и 7а2b3 число 7 является наибольшим общим делителем чисел 35 и 7, а2 — множитель а в наименьшей степени, с которой он входит в числитель и знаменатель, b2 — множитель b также в наименьшей степени, с которой он входит в числитель и знаменатель. Поэтому множитель 7а2b2 — наибольший общий множитель числителя и знаменателя.

Если общий множитель числителя и знаменателя будет не наибольшим, то после сокращения на него дроби дробь может быть сокращена еще.

   5. Способы разложения многочленов на множители

Пример 5

Разумеется, при сокращении дробей используют и другие способы разложения многочленов, стоящих в числителе и знаменателе дроби, на множители. В частности, широко используется способ группировки и вынесения общего множителя за скобки.

Пример 6

Так как и далее мы будем использовать разложение числителя и знаменателя дроби на множители, вспомним основные способы разложения многочленов на множители:

  1. вынесение общего множителя за скобки;
  2. группировка членов многочлена;
  3. использование формул сокращенного умножения.

Напомним также формулы сокращенного умножения:

1) а2 — b2 = (а — b)(а + b) (разность квадратов двух чисел равна произведению разности и суммы этих чисел);

2) (а + b)2 = а2 + 2ab + b2 (квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа);

3) (а — b)2 = а2 — 2ab + b2 (квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа);

4) а3 — b3 = (а — b)(а2 + ab + b2) (разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат их суммы).

Заметим, что неполным квадратом суммы чисел а и b называется выражение а2 + ab + b2 (по аналогии с квадратом (или полным квадратом) суммы чисел а и b: (а + b)2 = а2 + 2ab + b2);

5) а3 + b3 = (а + b)(а2 — ab + b2) (сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат их разности).

Отметим, что неполным квадратом разности чисел а и b называется выражение а2 — ab + b2 (сравните с полным квадратом разности чисел а и b: (а — b)2 = а2 — 2ab + b2):

6) (а + b)3 — а3 + 3а2b + 3аb2 + b3 (куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа);

7) (а — b)3 = а3 — 3а2b + 3ab2 — b3 (куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа).

IV. Задания на уроках

№ 23 (б, д); 25 (д); 27 (а); 28 (б, г); 29 (а, г); 30 (в); 31 (б); 32 (а); 33 (б); 35 (б); 42 (б); 44 (в); 45; 47; 49 (а, в).

V. Контрольные вопросы

  1. Докажите основное свойство дроби.
  2. Какое равенство называется тождеством? Приведите примеры.
  3. Основные способы разложения многочленов на множители.
  4. Формулы сокращенного умножения (рекомендуется опросить нескольких учащихся).
  5. Подведение итогов уроков

Домашнее задание: № 23 (а, г, е); 24 (в, е); 25 (а); 27 (б); 28 (а, в); 29 (д, е); 30 (д); 31 (а); 32 (б); 33 (а, г); 35 (а, г); 38 (а, д); 39; 41 (а); 46; 48; 49 (б, г).

 


Вы смотрели: Поурочное планирование по алгебре для 8 класса. УМК Макарычев (Просвещение). Глава 1. Рациональные дроби. § 1. Рациональные дроби и их свойства (5 ч). Уроки 3-5. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *