Числовые неравенства.
Свойства неравенств
Алгебра 9 класс «Уравнения и неравенства». Опорный конспект № 9.1 — «Числовые неравенства. Свойства неравенств. Доказательство неравенств»: основные свойства числовых неравенств; сравнение чисел; простейшие приёмы доказательства неравенств.
Вернуться к Списку конспектов по алгебре
Что такое числовое неравенство?
Числовое неравенство — это запись, в которой два числа (или выражения) соединены знаком > (больше), < (меньше), ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно).
📌 Для любых двух чисел a и b выполняется ровно одно из трёх соотношений:
- a > b
- a < b
- a = b
💡 Сравнение чисел: a > b, если разность a − b положительна; a < b, если разность a − b отрицательна.
Пример 1: Сравните числа 15 и 11.
Решение:
15 − 11 = 4 > 0, значит 15 > 11.
Пример 2: Сравните числа -7 и -3.
Решение:
-7 − (-3) = -7 + 3 = -4 < 0, значит -7 < -3.
Пример 3: Сравните числа 0,5 и 2/3.
Решение:
0,5 − 2/3 = 1/2 − 2/3 = 3/6 − 4/6 = -1/6 < 0, значит 0,5 < 2/3.
Основные свойства числовых неравенств
Свойство 1: Сложение с числом
Если a > b, то a + c > b + c для любого числа c.
⚠️ Неравенство не меняет знак при прибавлении одного и того же числа к обеим частям.
Пример:
5 > 3 → 5 + 10 > 3 + 10 → 15 > 13 (верно)
Свойство 2: Умножение на положительное число
Если a > b и c > 0, то a · c > b · c.
⚠️ При умножении на положительное число знак неравенства сохраняется.
Пример:
5 > 3 → 5 · 4 > 3 · 4 → 20 > 12 (верно)
Свойство 3: Умножение на отрицательное число
Если a > b и c < 0, то a · c < b · c.
❗️ При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Пример:
5 > 3 → 5 · (-2) < 3 · (-2) → -10 < -6 (верно)
Свойство 4: Сложение неравенств
Если a > b и c > d, то a + c > b + d.
Пример:
5 > 3 и 8 > 6 → 5 + 8 > 3 + 6 → 13 > 9 (верно)
Свойство 5: Умножение неравенств
Если a > b > 0 и c > d > 0, то a · c > b · d.
Пример:
5 > 3 и 8 > 6 → 5 · 8 > 3 · 6 → 40 > 18 (верно)
Свойство 6: Возведение в степень
Если a > b > 0 и n — натуральное число, то aⁿ > bⁿ.
Пример:
5 > 3 → 5² > 3² → 25 > 9 (верно)
Таблица. Все свойства числовых неравенств
Простейшие приёмы доказательства неравенств
Приём 1: Выделение квадрата
Если выражение можно представить как квадрат (или сумму квадратов), то оно всегда ≥ 0.
Пример: Докажите, что a² + 1 > 0 для любого a.
Решение:
a² ≥ 0 для любого a, значит a² + 1 ≥ 1 > 0. Неравенство доказано.
Пример: Докажите, что a² + b² ≥ 2ab.
Решение:
a² + b² − 2ab = (a − b)² ≥ 0
Значит, a² + b² ≥ 2ab. Неравенство доказано.
Приём 2: Сравнение с нулём (разность)
Чтобы доказать, что a > b, достаточно показать, что a − b > 0.
Пример: Докажите, что a² + a + 1 > 0 для любого a.
Решение:
Рассмотрим выражение a² + a + 1. Выделим квадрат:
a² + a + 1 = a² + 2·a·½ + ¼ + ¾ = (a + ½)² + ¾
Так как (a + ½)² ≥ 0, то (a + ½)² + ¾ ≥ ¾ > 0.
Неравенство доказано.
Приём 3: Использование известных неравенств
Пример: Докажите, что a² + 1 ≥ 2a.
Решение:
a² + 1 − 2a = (a − 1)² ≥ 0
Значит, a² + 1 ≥ 2a. Неравенство доказано.
Приём 4: Доказательство от противного
Предполагаем, что неравенство неверно, и приходим к противоречию.
Пример: Докажите, что если a > b > 0, то 1/a < 1/b.
Решение:
Предположим противное: 1/a ≥ 1/b. Так как a > 0 и b > 0, умножим неравенство на ab:
b ≥ a. Но это противоречит условию a > b.
Значит, 1/a < 1/b. Неравенство доказано.
Сравнение чисел с помощью неравенств
Для сравнения двух чисел достаточно найти знак их разности.
Пример 1: Сравните числа √7 и 3.
Решение:
√7 ≈ 2,65 < 3, значит √7 < 3.
Или: (√7)² = 7, 3² = 9, 7 < 9, значит √7 < 3.
Пример 2: Сравните числа 2√3 и 3√2.
Решение:
2√3 = √12, 3√2 = √18.
12 < 18, значит 2√3 < 3√2.
Пример 3: Сравните числа 5 + √3 и 7.
Решение:
√3 ≈ 1,73, значит 5 + √3 ≈ 6,73 < 7.
Или: 5 + √3 < 5 + 2 = 7 (так как √3 < 2).
Практические советы
- 👉 Для сравнения чисел вычисли их разность и определи её знак.
- 👉 При умножении на отрицательное число меняй знак неравенства.
- 👉 При доказательстве неравенств выделяй квадрат — это один из самых надёжных приёмов.
- 👉 Для сравнения корней возводи в квадрат (если числа положительны).
- 👉 Запоминай основные неравенства: a² + b² ≥ 2ab; a² ≥ 0.
Таблица свойств неравенств:
| Действие | Условие | Результат |
|---|---|---|
| Прибавить число c | a > b | a + c > b + c (знак сохраняется) |
| Умножить на c > 0 | a > b | a · c > b · c (знак сохраняется) |
| Умножить на c < 0 | a > b | a · c < b · c (знак меняется) |
| Сложить неравенства | a > b, c > d | a + c > b + d |
| Перевернуть дробь | a > b > 0 | 1/a < 1/b (знак меняется) |
Задачи для самостоятельного решения
- Задача 1. Сравните числа: 12 и 8; -5 и -9; 2/3 и 0,7.
- Задача 2. Докажите, что a² + 4 ≥ 4a для любого a.
- Задача 3. Сравните числа: 3√5 и 4√3; √10 + 2 и 5.
- Задача 4. Докажите, что если a > b > 0, то a² > b².
📌 ПОДВЕДЁМ ИТОГИ
- Числовое неравенство — это сравнение двух чисел (выражений) с помощью знаков >, <, ≥, ≤.
- a > b тогда и только тогда, когда a − b > 0.
- Основные свойства: прибавление числа (знак не меняется), умножение на положительное (знак не меняется), умножение на отрицательное (знак меняется).
- Неравенства можно складывать и умножать (для положительных чисел).
- Приёмы доказательства: выделение квадрата, сравнение с нулём, от противного.
- При сравнении чисел с корнями возводи в квадрат или вноси под корень.
Вы смотрели конспект по алгебре на тему «Числовые неравенства. Свойства неравенств. Доказательство неравенств».
Вернуться к Списку конспектов по алгебре
