Геометрия 8 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 13. Самостоятельная работа № 4 Решение задач по теме «Прямоугольник. Ромб. Квадрат» с ответами (2 уровня сложности). Геометрия 8 Атанасян Самостоятельная 4.

Для подготовки к самостоятельной работе необходимо изучить соответствующие темы учебника «Геометрия 8 класс. Глава 1 Четырехугольники».

Геометрия 8 класс. Урок 13.
Самостоятельная № 4 Решение задач
по теме «Прямоугольник. Ромб. Квадрат»

Подготовка к самостоятельной работе

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

1. Противолежащие стороны параллельны и равны — Параллелограмм, Прямоугольник, Ромб, Квадрат.
2. Все стороны равны — Ромб, Квадрат.
3. Противолежащие углы равны, сумма соседних углов равна 180° — Параллелограмм, Прямоугольник, Ромб, Квадрат.
4. Все углы прямые — Прямоугольник, Квадрат.
5. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам — Параллелограмм, Прямоугольник, Ромб, Квадрат.
6. Диагонали равны — Прямоугольник, Квадрат.
7. Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов — Ромб, Квадрат.

   I уровень сложности (задания)

   II уровень сложности (задания)

Геометрия 8 Атанасян Самостоятельная 4. ОТВЕТЫ

   I уровень сложности (ответы)

№ 1. Любой прямоугольник является:
а) ромбом; б) квадратом; в) параллелограммом; г) нет правильного ответа.
ОТВЕТ: Любой прямоугольник является (в) параллелограммом.

№ 2. Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырехугольник:
а) ромб; б) квадрат; в) прямоугольник; г) нет правильного ответа.
ОТВЕТ: (г) нет правильного ответа.

№ 3. Ромб – это четырехугольник, в котором:
а) диагонали точкой пересечения делятся пополам и равны;
б) диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам;
в) противолежащие углы равны, а противолежащие стороны параллельны;
г) нет правильного ответа.
ОТВЕТ: Ромб – это четырехугольник, в котором (б) диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

№ 4. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.
Решение: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны (рис. 5.155), поэтому △АОВ – прямоугольный. Пусть в △АОВ ∠ABO = x, тогда ∠BAO = х + 30°, значит, ∠ABO + ∠BAO = х + х + 30° = 90° и х = 30°. ∠ABO = 30°, ∠BAO = 60°, а так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то ∠BAD = 120°, ∠ABC = 60°. Поскольку противолежащие углы в ромбе равны, то ∠ADC = ∠ABC – 60°, ∠BCD = ∠BAD = 120°.
ОТВЕТ: 60°, 120°, 60°, 120°.

№ 5. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80°. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.
Решение: Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам (рис. 5.156), значит, ВО = BD/2 = AC/2 = AO и △АОВ – равнобедренный, тогда ∠OAB = ∠OBA – 50°. В прямоугольнике все углы прямые, значит, ∠OAD = ∠BAD – ∠OAB = = 90° – 50° = 40°.
ОТВЕТ: 50°, 40°.

   II уровень сложности (ответы)

№ 1. Любой ромб является:
а) квадратом; б) прямоугольником; в) параллелограммом; г) нет правильного ответа.
ОТВЕТ: Любой ромб является (в) параллелограммом.

№ 2. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм:
а) ромб; б) квадрат; в) прямоугольник; г) нет правильного ответа.
ОТВЕТ Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это (а) ромб.

№ 3. Прямоугольник – это четырехугольник, в котором:
а) противолежащие стороны параллельны, а диагонали равны;
б) диагонали точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов;
в) два угла прямые и две стороны равны;
г) нет правильного ответа.
ОТВЕТ: Прямоугольник – это четырехугольник, в котором (а) противолежащие стороны параллельны, а диагонали равны.

№ 4. В ромбе ABCD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ BD соответственно в точках М и N. Найдите угол ANВ, если ∠AMC = 120°.
Решение: В ромбе противолежащие углы равны и диагонали являются биссектрисами его углов (рис. 5.157), т. е. ∠BAC = ∠BAD : 2 = ∠BCD : 2 = ∠BCA. Так как AM – биссектриса ∠BAC, a ∠BAC = ∠BCA, то ∠MAC = ∠MCA : 2.
В △AMC ∠MAC + ∠MCA = 180° – ∠AMC = 180° – 120° = 60°.
∠MAC = ∠MCA : 2, тогда ∠MAC = 20°, ∠BAC = 40°.
В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, △АОВ – прямоугольный, ∠ABO = 90° – ∠BAO = 50°.
В △ABN ∠BAN = ∠MAC = 20°, ∠ABN = 50°, тогда ∠ANB = 180° – (20° + 50°) = 110°.
ОТВЕТ: ∠ANB = 110°.

№ 5. Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата.
Доказательство: △ВМО = △DKO по стороне и прилежащим к ней углам (ВО = DO, ∠MBO = ∠KDO = 45°, ∠BOM – ∠DOK) (рис. 5.158), тогда ВМ = KD, значит, AM = СК (AM = АВ – ВМ, СК= CD – KD, ВМ= KD, АВ = CD), 0М= OK.
Из равенства △CON и △АОР аналогично получаем CN = АР, BN = PD, ON = OP. В четырехугольнике MNKP диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам (ОМ = OK, ON = OP), тогда MNKP – ромб.
△АМО = △DOP = △СОК = △BON по двум сторонам и углу между ними (ОА = OD = ОС = OB, AM = PD = КС = BN, ∠MAO = ∠PDO = ∠KCO = ∠NBO), тогда МО = РО = ОК = N0.
В ромбе MNKP диагонали равны (МК = МО + OK = NO + РО = NP), значит, MNKP – квадрат.

Вы смотрели: Геометрия 8 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 13. Самостоятельная работа № 4 Решение задач по теме «Прямоугольник. Ромб. Квадрат» с ответами (2 уровня сложности). Геометрия 8 Атанасян Самостоятельная 4. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».

Вернуться в Поурочное планирование по геометрии для 8 класса (УМК Атанасян).

Перейти к Списку самостоятельных работ по геометрии в 8 классе (Оглавление)

В учебных целях использованы цитаты из пособия «Поурочные разработки по геометрии. 7 класс / Гаврилова Н.Ф. — М.: ВАКО».