Геометрия в 9 классе УМК Атанасян Самостоятельная работа № 10 по теме «Правильные многоугольники» с ответами (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Код материалов: Геометрия 9 класс Самостоятельная 10.
Геометрия 9 класс.
Самостоятельная № 10
«Правильные многоугольники»
I уровень сложности
Ур1 Вариант 1
№ 1. Найдите углы правильного пятнадцатиугольника.
Решение: У правильного n-угольника все углы равны.
Формула для одного угла: α = (180° • (n─2))/n
Для n = 15:
α = (180° • (15 ─ 2))/15 = 180° • 13/15 = 2340°/15 = 156°
Ответ: 156°.
№ 2. Сторона правильного треугольника, вписанного в некоторую окружность, равна 4√3. Найдите сторону правильного четырехугольника, описанного около этой же окружности.
Решение:
1. Радиус R окружности, описанной около правильного треугольника со стороной a₃:
R = a₃/√3
Дано a₃ = 4√3, тогда: R = 4√3/√3 = 4
2. Правильный четырехугольник (квадрат) описан около этой окружности, значит радиус вписанной в квадрат окружности равен R.
Для квадрата со стороной a₄ радиус вписанной окружности:
r = a₄/2
Приравниваем r = R = 4:
a₄/2 = 4 ⇒ a₄ = 8
Ответ: 8.
Ур1 Вариант 2
№ 1. Найдите углы правильного восемнадцатиугольника.
Решение:
Формула угла: α = (180° • (n─2))/n
Для n = 18:
α = 180° • 16/18 = 2880°/18 = 160°
Ответ: 160°.
№ 2. Сторона правильного четырехугольника, вписанного в некоторую окружность, равна 2. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой же окружности.
Решение:
1. Радиус R окружности, описанной около квадрата со стороной a₄:
R = a₄/√2
Дано a₄ = 2, тогда:
R = 2/√2 = √2
2. Правильный треугольник описан около этой окружности, значит радиус вписанной в треугольник окружности равен R.
Для правильного треугольника со стороной a₃ радиус вписанной окружности:
r = a₃ √3/6
Приравниваем r = R = √2:
a₃ √3/6 = √2
a₃ √3 = 6√2
a₃ = 6√2/√3 = 2√6
Ответ: 2√6.
II уровень сложности
Ур2 Вариант 1
№ 1. Сумма углов правильного n-угольника равна 1800°. Найдите его внешние углы.
Решение: Сумма углов n-угольника равна 180° (n─2).
180(n─2) = 1800
n─2 = 10
n = 12
Внешний угол правильного n-угольника равен 360°/n.
360°/12 = 30°
Ответ: 30°.
№ 2. Сторона правильного четырехугольника, описанного около некоторой окружности, равна 8. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в эту же окружность.
Решение: Правильный четырехугольник, описанный около окружности — это квадрат.
Сторона квадрата a₄ = 8 равна диаметру вписанной окружности? Нет, для описанного квадрата сторона равна 2R, где R — радиус окружности.
a₄ = 2R ⇒ 8 = 2R ⇒ R = 4
Теперь в эту же окружность вписан правильный треугольник.
Для правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R, сторона:
a₃ = R√3
a₃ = 4√3
Площадь правильного треугольника:
S = √3/4 a₃² = √3/4 • (4√3)²
= √3/4 • 16 • 3 = √3/4 • 48 = 12√3
Ответ: 12√3.
Ур2 Вариант 2
№ 1. Сумма углов правильного n-угольника равна 2340°. Найдите его внешние углы.
Решение: 180(n─2) = 2340
n─2 = 13
n = 15
Внешний угол: 360°/15 = 24°
Ответ: 24°.
№ 2. Сторона правильного треугольника, описанного около некоторой окружности, равна 2√6. Найдите площадь правильного четырехугольника, вписанного в эту же окружность.
Решение: Правильный треугольник описан около окружности, значит окружность вписана в треугольник.
Для правильного треугольника со стороной a₃ радиус вписанной окружности:
r = a₃ √3/6
r = 2√6 • √3/6 = 2√18/6 = 2 • 3√2/6 = √2
Эта же окружность является описанной для квадрата (правильного четырехугольника), значит R = r = √2 — радиус окружности, описанной около квадрата.
Для квадрата, вписанного в окружность радиуса R, сторона:
a₄ = R√2 = √2 • √2 = 2
Площадь квадрата:
S = a₄² = 2² = 4
Ответ: 4.
III уровень сложности
Ур3 Вариант 1
№ 1. Существует ли правильный многоугольник, у которого каждый угол равен 145°?
Решение:
Формула для угла правильного n─угольника: α = (180°(n─2))/n
Подставляем α = 145°:
145 = (180(n─2))/n
145n = 180n ─ 360
─35n = ─360
n = 360/35 = 72/7 ≈ 10,285…
n не целое ⇒ такого правильного многоугольника не существует.
Ответ: нет, не существует.
№ 2. Сторона описанного правильного четырехугольника на √3 больше стороны правильного треугольника, вписанного в ту же окружность. Найдите сторону треугольника.
Решение: Пусть R — радиус окружности.
1. Правильный описанный четырёхугольник (квадрат)
Для квадрата, описанного около окружности, сторона a₄ равна:
a₄ = 2R
2. Правильный вписанный треугольник
Для правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R, сторона a₃ равна:
a₃ = R√3
3. Условие задачи: a₄ = a₃ + √3
Подставляем: 2R = R√3 + √3
2R ─ R√3 = √3
R(2 ─ √3) = √3
R = √3/(2 ─ √3)
Умножим числитель и знаменатель на 2 + √3:
R = (√3(2 + √3))/(2 ─ √3)(2 + √3) = (2√3 + 3)/(4 ─ 3) = 2√3 + 3
4. Сторона треугольника:
a₃ = R√3 = (2√3 + 3)√3 = 2• 3 + 3√3 = 6 + 3√3
Ответ: 6 + 3√3.
Ур3 Вариант 2
№ 1. Существует ли правильный многоугольник, у которого каждый угол равен 125°?
Решение: 125 = (180(n─2))/n
125n = 180n ─ 360
─55n = ─360
n = 360/55 = 72/11 ≈ 6,545…
n не целое ⇒ не существует.
Ответ: нет, не существует.
№ 2. Сторона описанного правильного четырехугольника на √6 больше стороны правильного четырехугольника, вписанного в ту же окружность. Найдите сторону четырехугольника.
Решение: Пусть R — радиус окружности.
1. Описанный квадрат (правильный четырёхугольник):
a_{оп} = 2R
2. Вписанный квадрат: a_{вп} = R√2
3. Условие: a_{оп} = a_{вп} + √6
2R = R√2 + √6
2R ─ R√2 = √6
R(2 ─ √2) = √6
R = √6/(2 ─ √2)
Умножим числитель и знаменатель на 2 + √2:
R = (√6(2 + √2))/(2 ─ √2)(2 + √2) = (√6(2 + √2))/(4 ─ 2) = (√6(2 + √2))/2 = √6 + √3
4. Сторона вписанного четырёхугольника (квадрата):
a_{вп} = R√2 = (√6(2 + √2))/2 • √2 = (√12(2 + √2))/2 = (2√3(2 + √2))/2 = √3(2 + √2) = 2√3 + √6.
5. Сторона описанного четырёхугольника:
a_{оп} = 2R = 2(√6 + √3) = 2√6 + 2√3.
Ответ:
— сторона вписанного четырёхугольника = √3(2 + √2) или 2√3 + √6;
— сторона описанного четырёхугольника = 2√6 + 2√3.
Примечание: Возможно авторы вопроса хотели узнать только «Найдите сторону вписанного четырехугольника».
Вы смотрели: Геометрия 9 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Самостоятельная работа № 10 «Правильные многоугольники» с ответами (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 9 класс Самостоятельная 10. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».
