Геометрия в 9 классе УМК Атанасян Самостоятельная работа № 14 по теме «Симметрии фигур» с ответами (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Код материалов: Геометрия 9 класс Самостоятельная 14.
Геометрия 9 класс.
Самостоятельная № 14
«Симметрии фигур»
I уровень сложности
Ур-1 Вариант 1
№ 1. Дан параллелограмм ABCD. Постройте его образ при параллельном переносе на вектор АО, где О – точка пересечения диагоналей параллелограмма.
Решение:
1. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, которая является серединой каждой диагонали.
2. Вектор AO равен половине вектора AC, так как O — середина AC.
3. Чтобы построить образ параллелограмма при параллельном переносе на вектор AO, нужно каждую вершину A, B, C, D сдвинуть на этот вектор.
4. Обозначим образы точек:
A’ = A + AO = O (так как AO = OA’ и A’ совпадает с O).
B’ = B + AO.
C’ = C + AO.
D’ = D + AO.
5. Поскольку O — середина AC, то C’ = C + AO = C + 1/2AC.
Но AC = AO + OC = 2AO, поэтому C + AO = C + 1/2 • 2AO = C + AO — это точка, симметричная A относительно O? Проверим: Лучше построить по координатам для наглядности.
Пусть A(0,0), B(2,0), D(1,2), тогда C = B + AD = (3,2).
O = ((0 + 3)/2, (0 + 2)/2) = (1.5, 1).
AO = (1.5, 1).
Тогда:
A’ = (1.5, 1) — это O.
B’ = (2 + 1.5, 0 + 1) = (3.5, 1).
C’ = (3 + 1.5, 2 + 1) = (4.5, 3).
D’ = (1 + 1.5, 2 + 1) = (2.5, 3).
Получили параллелограмм A’B’C’D’.
✅ Ответ: образ — параллелограмм A’B’C’D’, полученный сдвигом всех вершин на вектор AO. Точка A’ совпадает с O.
№ 2. Постройте ромб и его образ при повороте вокруг одной из его вершин на 60° против часовой стрелки.
Решение:
1. Рисуем ромб ABCD (например, со стороной 3 см, острый угол 60°).
2. Выбираем вершину A как центр поворота.
3. Поворачиваем каждую вершину на 60° против часовой стрелки вокруг A:
─ A остаётся на месте.
─ B переходит в B’ так, что AB’ = AB и ∠BAB’ = 60°.
─ C: чтобы повернуть C, можно сначала найти образы всех вершин через векторы.
Удобнее: C = B + BC, но BC = AD.
Поворот B → B’, D → D(вершина D рядом с A: AD поворачиваем на 60°).
Тогда C’ = B’ + B’C’, где B’C’ = BC (повёрнутый на 60°).
Проще: повернуть весь ромб как фигуру — каждая точка поворачивается на 60° вокруг A.
4. На чертеже:
─ Строим ромб ABCD.
─ Строим луч AB, от него откладываем угол 60° против ч.с., откладываем AB’ = AB.
─ Аналогично для D: от луча AD откладываем 60°, AD’ = AD.
─ Тогда C’ получается как B’ + AD’ (так как в ромбе BC ∥ AD и BC = AD).
✅ Ответ: получаем ромб AB’C’D’ — образ исходного ромба при повороте на 60° вокруг A против часовой стрелки.
Ур-1 Вариант 2
№ 1. Дана трапеция ABCD. Постройте ее образ при параллельном переносе на вектор ВО, где О – точка пересечения диагоналей трапеции.
Решение:
1. Пусть трапеция ABCD с основаниями AD и BC(AD ∥ BC).
2. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
3. Вектор BO направлен от B к O.
4. При параллельном переносе на BO каждая точка сдвигается на этот вектор.
5. Обозначим образы:
B’ = B + BO = O.
A’ = A + BO.
C’ = C + BO.
D’ = D + BO.
6. Для проверки: возьмём пример.
Пусть A(0,0), B(2,0), C(3,2), D(1,2) — это равнобедренная трапеция.
Прямые AC: y = 2/3x, BD: y = ─ 2/1(x─2)? Проверим: D(1,2), B(2,0):
Уравнение BD: (y─0)/(2 ─ 0) = (x─2)/(1 ─ 2) ⇒ y = ─2(x─2) = ─2x + 4.
Пересечение AC и BD: 2/3x = ─2x + 4
2/3x + 2x = 4
(2x + 6x)/3 = 4 ⇒ 8x = 12 ⇒ x = 1.5, y = 1.
Итак, O(1.5, 1).
BO = (─0.5, 1).
Тогда:
B’ = (1.5, 1) = O.
A’ = (0 ─ 0.5, 0 + 1) = (─0.5, 1).
C’ = (3 ─ 0.5, 2 + 1) = (2.5, 3).
D’ = (1 ─ 0.5, 2 + 1) = (0.5, 3).
Получили трапецию A’B’C’D’ с основаниями A’D’ и B’C’.
✅ Ответ: образ — трапеция A’B’C’D’, полученная сдвигом на вектор BO, при этом B’ совпадает с O.
№ 2. Постройте прямоугольник и его образ при повороте вокруг одной из его вершин на 45° по часовой стрелке.
Решение:
1. Рисуем прямоугольник ABCD(например, AB = 4, BC = 3).
2. Выбираем вершину A как центр поворота.
3. Поворот на 45° по часовой стрелке — это поворот на ─45°.
4. Поворачиваем каждую вершину:
─ A остаётся.
─ B: от луча AB откладываем угол 45° по часовой, откладываем AB’ = AB.
─ D: от луча AD откладываем 45° по часовой, AD’ = AD.
─ Точка C получается как B’ + AD’ (так как в прямоугольнике BC ∥ AD и BC = AD).
5. Получаем прямоугольник AB’C’D(стороны остаются перпендикулярными, длины сохраняются, поэтому это снова прямоугольник, но повёрнутый относительно исходного на 45° по часовой стрелке вокруг A).
✅ Ответ: прямоугольник AB’C’D’ — образ исходного при повороте на 45° по часовой стрелке вокруг вершины A.
II уровень сложности
Ур-2 Вариант 1
№ 1. Дана трапеция ABCD. Известно, что при некотором параллельном переносе точка А отображается в точку С. Постройте фигуру, в которую отображается △ABD при данном параллельном переносе.
№ 2. Дан равнобедренный треугольник АВС с углом В, равным 120°. При некотором повороте точка А отображается на точку В, а точка В – на точку С. Постройте центр поворота.
Ур-2 Вариант 2
№ 1. Дан тупоугольный треугольник АВС с тупым углом В. Постройте фигуру, в которую отображается данный треугольник при параллельном переносе на вектор ВН, где Н – точка пересечения высот △АВС.
№ 2. Дан равнобедренный треугольник АВС с прямым углом В. При некотором повороте точка А отображается на точку В, а точка В – на точку С. Постройте центр поворота.
III уровень сложности
Ур-3 Вариант 1
№ 1. Даны угол АВС и точка М внутри него. Найдите на сторонах угла такие точки D и Е, чтобы при параллельном переносе точка В отображалась на точку D, а точка Е – на точку М.
№ 2. Даны прямые а, b и точка О (рис. 13.33). На прямых найдите такие точки, что одна из них переходит в другую при повороте на 60° вокруг точки О.
Ур-3 Вариант 2
№ 1. Даны угол АВС и точка К вне его. Найдите на сторонах угла такие точки M и N, чтобы при параллельном переносе точка В отображалась на точку M, а точка К – на точку N.
№ 2. Даны прямые а, b и точка О (рис. 13.34). На прямых найдите такие точки, что одна из них переходит в другую при повороте на 45° вокруг точки О.
Вы смотрели: Геометрия 9 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Самостоятельная работа № 14 «Симметрии фигур» с ответами (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 9 класс Самостоятельная 14. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».
