Геометрия в 9 классе (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Самостоятельная работа № 6 по теме «Использование метода координат в практических задачах» с частичными ответами (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Код материалов: Геометрия 9 класс Самостоятельная 6.
Формулы координат середины отрезка и расстояния между двумя точками можно использовать для решения более сложных геометрических задач. С этой целью следует ввести прямоугольную систему координат и записать условие задачи в координатах. После этого решение задачи проводится с помощью алгебраических вычислений.
Задача 1. Четырехугольник ABCD – прямоугольник, если ABCD – параллелограмм, в котором диагонали равны. Докажем, что ABCD – параллелограмм, т. е. его диагонали АС и BD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Задача 2. Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника. ОТВЕТ: 100 см, 100 см.
Задача 3. Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если М (1; 1), N (6; 1), P (7; 4), Q (2; 4). ОТВЕТ: MP = 3√5, NQ = 5.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Задача 4. Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 см и 4 см. Найдите медиану, проведённую к меньшей из двух других сторон. ОТВЕТ: 13 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
I уровень сложности (задания)
Задача № 1. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: А (–4; 1), В (–2; 4), С (0; 1). Задача № 2. На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек: С (4; –3) и D (8; 1). Задача № 3. Дано: Точки с координатами A(2; –1), В(5; –3), С(–2; 11), D(–5; 13). Докажите, что эти точки являются вершинами параллелограмма.
II уровень сложности (задания)
III уровень сложности (задания)
Геометрия 9 класс Самостоятельная 6
ОТВЕТЫ на работу № 6
I уровень сложности (ответы)
Задача № 1. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: А (–4; 1), В (–2; 4), С (0; 1). ОТВЕТ: S = 6.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
1. Найдём длины сторон:
AB = √{(─2+4)² + (4─1)²} = √{4 + 9} = √13
BC = √{(0+2)² + (1─4)²} = √{4 + 9} = √13
AC = √{(0+4)² + (1─1)²} = √{16 + 0} = 4
Так как AB = BC , треугольник равнобедренный с основанием AC.
2. Найдём площадь.
Высота BH опущена на основание AC , где H — середина AC :
H = ((─4+0)/2, (1+1)/2) = (─2, 1)
BH = √{(─2+2)² + (1─4)²} = √{0 + 9} = 3
S = 1/2 • AC • BH = 1/2 • 4 • 3 = 6
Ответ: Треугольник равнобедренный, S = 6.
Проверка: AB = BC = √13 , площадь 1/2 • 4 • 3 = 6 — верно.
Задача № 2. На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек: С (4; –3) и D (8; 1). ОТВЕТ: A(0; 5).
Задача № 3. Дано: Точки с координатами A(2; –1), В(5; –3), С(–2; 11), D(–5; 13). Докажите, что эти точки являются вершинами параллелограмма.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Докажем, что AB ∥ DC и AB = DC.
1. Вектор AB = (5 ─ 2, ─3 ─ (─1)) = (3, ─2)
2. Вектор DC = (─2 ─ (─5), 11 ─ 13) = (3, ─2)
Так как AB = DC , стороны AB и DC равны и параллельны ⇒ ABCD — параллелограмм.
Ответ: Точки A, B, C, D являются вершинами параллелограмма. Дополнительная проверка. Можно также проверить середины диагоналей:
Середина AC : ((2 + (─2))/2, (─1 + 11)/2) = (0, 5)
Середина BD : ((5 + (─5))/2, (─3 + 13)/2) = (0, 5)
Совпадают ⇒ параллелограмм.
II уровень сложности (ответы)
Ур–2 Вариант 1
№ 1. На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек А(–2; 6) и В(7; 3). ОТВЕТ: C(1; 0).
№ 2. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин А(1; 1), В(3; 5), С(9; –1), D(7; 5). Докажите, что ABCD – параллелограмм. Найдите его диагонали. ОТВЕТ: 4, √68.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 3. В треугольнике MNK проведена высота NО, ∠NMO = 45°, NО = 6, ОК = 4. Найдите длину медианы, проведенной из вершины М. ОТВЕТ: √73.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Введём координаты: O(0;0) , N(0;6) , K(4;0).
∠NMO = 45° — в треугольнике MNO NO — высота, O — основание высоты из N на MK , значит MO = NO = 6 (т.к. треугольник MNO прямоугольный с углом 45° при M).
Тогда M(─6; 0) (т.к. O лежит между M и K или с другой стороны? Если ∠NMO = 45° , то M находится слева от O , так что MO = 6 , M(─6;0)).
Середина NK : E((0+4)/2; (6+0)/2) = (2; 3).
Медиана ME :
ME = √{(2 + 6)² + (3 ─ 0)²} = √{64 + 9} = √73
Ур–2 Вариант 2
№ 1. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек М(–3; 8) и N(6; 5). ОТВЕТ: C(0; 2).
№ 3. В треугольнике ABC ∠A = 45°, высота ВО делит сторону АС на отрезки АО = 4 и СО = 8. Найдите длину медианы, проведенной из вершины С. ОТВЕТ: 2√26.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Координаты: A(0;0) , C(12;0) (т.к. AO=4 , OC=8 , AC=12).
∠A = 45° , BO — высота, O на AC , AO = 4 , BO = AO • tan 45° = 4 • 1 = 4 (из прямоугольного треугольника AOB , ∠A=45° → BO = AO = 4).
Тогда B(4;4).
Середина AB : D((0+4)/2; (0+4)/2) = (2; 2).
Медиана CD :
CD = √{(12 ─ 2)² + (0 ─ 2)²} = √{100 + 4} = √104 = 2√26
Ответ: 2√26.
Геометрия 9 класс Самостоятельная 6
III уровень сложности (ответы)
Ур–3 Вариант 1
№ 1. В параллелограмме ABCD А(–2; 1), В{2; 5), D(6; –1). Найдите координаты середины отрезка СО, если О – точка пересечения диагоналей параллелограмма. ОТВЕТ: (7; 2,5).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
1. O – середина AC и BD.
Координаты O из A и B, D не подходят, т.к. O – середина BD:
O = ((x_B + x_D)/2, (y_B + y_D)/2) = ((2 + 6)/2, (5 + (─1))/2) = (4, 2).
2. O – середина AC, значит C находится из A(─2; 1) и O(4; 2):
O = (A + C)/2 ⇒ C = 2O ─ A = (8 ─ (─2), 4 ─ 1) = (10, 3).
3. Середина CO: M = ((x_C + x_O)/2, (y_C + y_O)/2) = ((10 + 4)/2, (3 + 2)/2) = (7, 2.5).
Ответ: (7, 2.5).
Вы смотрели: Геометрия 9 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Самостоятельная работа № 6 «Использование метода координат в практических задачах» с ответами (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 9 класс Самостоятельная 6. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».
