Иррациональные числа.
Действия с иррациональными числами
Алгебра 8 класс «Числа и вычисления». Опорный конспект № 8.3 — «Иррациональные числа. Действия с иррациональными числами»: понятие иррационального числа (√2, √3, π и др.); сложение, вычитание, умножение, деление выражений с корнями; приведение подобных радикалов.
Вернуться к Списку конспектов по алгебре
Что такое иррациональное число?
Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби m/n, где m — целое, n — натуральное.
📌 Иррациональные числа в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.
Примеры иррациональных чисел:
- √2 ≈ 1,41421356237…
- √3 ≈ 1,73205080757…
- √5 ≈ 2,23606797750…
- π ≈ 3,14159265359…
- e ≈ 2,71828182846…
- √7, √11, √13 и другие корни из чисел, не являющихся точными квадратами
💡 Рациональные числа — это все остальные числа (целые, обыкновенные дроби, конечные и бесконечные периодические десятичные дроби). Смотрите конспект для 7 класса «Рациональные числа»
Множество действительных чисел
Все рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел (ℝ).
📌 Схема числовых множеств:
- ℕ (натуральные): 1, 2, 3, …
- ℤ (целые): …, -2, -1, 0, 1, 2, …
- ℚ (рациональные): все дроби и целые числа
- ℝ (действительные): все числа на числовой прямой (рациональные + иррациональные)
Действия с иррациональными числами
При выполнении действий с корнями важно помнить, что все операции выполняются по тем же правилам, что и с рациональными числами, но с учётом свойств корней.
1) Сложение и вычитание (приведение подобных радикалов)
Подобные радикалы — это выражения, содержащие одинаковые корни (с одинаковым подкоренным выражением).
📌 Чтобы сложить или вычесть подобные радикалы, нужно сложить их коэффициенты, а корень оставить тем же.
Алгоритм:
- Упростить каждый радикал (вынести множитель, если возможно).
- Выделить подобные радикалы (с одинаковым подкоренным выражением).
- Сложить/вычесть коэффициенты при одинаковых корнях.
Примеры:
- 2√3 + 5√3 = (2 + 5)√3 = 7√3
- 7√2 — 4√2 = (7 — 4)√2 = 3√2
- √5 + 3√5 = (1 + 3)√5 = 4√5
- √12 + √3 = 2√3 + √3 = 3√3 (так как √12 = 2√3)
- √50 — √18 = 5√2 — 3√2 = 2√2
⚠️ Важно: Нельзя складывать разные корни! Например, √2 + √3 ≠ √5.
2) Умножение
При умножении корней с одинаковыми показателями перемножаются подкоренные выражения:
√a · √b = √(a · b) (при a ≥ 0, b ≥ 0)
Примеры:
- √2 · √3 = √6
- √5 · √7 = √35
- 2√3 · 4√5 = (2 · 4)√(3 · 5) = 8√15
- √8 · √2 = √16 = 4
- 3√2 · √8 = 3√(2 · 8) = 3√16 = 3 · 4 = 12
3) Деление
При делении корней с одинаковыми показателями делятся подкоренные выражения:
√a / √b = √(a / b) (при a ≥ 0, b > 0)
Примеры:
- √12 / √3 = √(12/3) = √4 = 2
- √50 / √2 = √25 = 5
- 6√8 / (2√2) = (6/2) · √(8/2) = 3√4 = 3 · 2 = 6
Приведение подобных радикалов (сложные примеры)
Часто перед приведением подобных радикалов нужно упростить каждый корень.
Пример 1: Упростите: √75 + √27 — √12
Решение:
√75 = √(25 · 3) = 5√3
√27 = √(9 · 3) = 3√3
√12 = √(4 · 3) = 2√3
5√3 + 3√3 — 2√3 = (5 + 3 — 2)√3 = 6√3
Ответ: 6√3
Пример 2: Упростите: 3√20 + 2√45 — 4√5
Решение:
√20 = √(4 · 5) = 2√5 → 3√20 = 3 · 2√5 = 6√5
√45 = √(9 · 5) = 3√5 → 2√45 = 2 · 3√5 = 6√5
6√5 + 6√5 — 4√5 = (6 + 6 — 4)√5 = 8√5
Ответ: 8√5
Освобождение от иррациональности в знаменателе (введение)
Иногда полезно освободиться от корня в знаменателе дроби.
Пример: Освободитесь от иррациональности: 3/√2
Решение: умножим числитель и знаменатель на √2:
3/√2 = (3·√2)/(√2·√2) = (3√2)/2
Ответ: (3√2)/2
💡 Этот приём часто используется для упрощения выражений и сравнения чисел.
Практические советы
- 👉 Чтобы привести подобные радикалы, сначала упрости каждый корень.
- 👉 При умножении/делении корней перемножай/дели подкоренные выражения.
- 👉 Не складывай корни с разными подкоренными выражениями (√2 + √3 нельзя упростить).
- 👉 При работе с выражениями вида a√b + c√b складывай только коэффициенты.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Упростите выражение: 5√7 + 3√7 — 2√7.
Задача 2. Упростите выражение: √48 + √27 — √75.
Задача 3. Выполните умножение: (3√5) · (2√10).
Задача 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: 5/√3.
📌 ПОДВЕДЁМ ИТОГИ
- Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби m/n. Их десятичная запись — бесконечная непериодическая дробь.
- Рациональные + иррациональные числа = действительные числа (ℝ).
- Подобные радикалы — это корни с одинаковыми подкоренными выражениями. Их можно складывать и вычитать как подобные слагаемые.
- При умножении корней: √a · √b = √(a · b).
- При делении корней: √a / √b = √(a / b).
- Перед приведением подобных радикалов всегда упрощай каждый корень.
Вы смотрели конспект по алгебре на тему «Иррациональные числа. Действия с иррациональными числами».
Вернуться к Списку конспектов по алгебре
