Геометрия в 9 классе УМК Атанасян Проверочная работа Скалярное произведение векторов с ответами (3 уровня сложности) + Проверочный тест 2 варианта с ответами.
Геометрия 9 класс.
Проверочная работа
«Скалярное произведение векторов»
Подготовка к проверке: Тест
Тест Вариант 1
Часть 1. Заполните пропуски, чтобы получилось верное высказывание.
1) (АС, СВ) = …;
2) (АВ, СА) = …;
3) (AB, СВ) = …;
4) СB • СA=…;
5) АВ • ВА = … .
Часть 2. Выберите правильный ответ.
6) BC • ВА = … .
а) 9; б) 9√3; в) 18.
7) Скалярное произведение векторов АС и ВА:
а) равно нулю; б) отрицательно; в) положительно.
8) Скалярное произведение координатных векторов i и j равно: а) 1; б) –1; в) 0.
9) Если а • b = 12, |а| = 3, |b| = 4, то векторы а и b:
а) сонаправлены; б) перпендикулярны; в) противоположно направлены.
10) Найдите угол между векторами m и n, если m • n = –15, |m| = 5, |n| = 6.
а) 50°; б) 60°; в) 120°.
Тест Вариант 2
Часть 1. Заполните пропуски, чтобы получилось верное высказывание.
1) (СА, СВ) = …;
2) (АВ, СА) = …;
3) (ВА, СА) = …;
4) СВ • СA = …;
5) АВ2 = … .
Часть 2. Выберите правильный ответ.
6) AC • АВ = … .
а) 32; б) 16√2; в) 16.
7) Скалярное произведение векторов АВ и СВ:
а) положительно; б) отрицательно; в) равно нулю.
8) Скалярный квадрат координатного вектора i равен: а) 1; б) 0; в) –1.
9) Если х • у = –20, |х| = 4, |у| = 5, то векторы х и у:
а) перпендикулярны; б) противоположно направлены; в) сонаправлены.
10) Найдите угол между векторами а и b, если а • b =12, |а| = 3, |b| = 8.
а) 30°; 6)120°; в) 60°.
ОТВЕТЫ на Тест
Критерии оценивания:
За каждое правильно выполненное задание ставится 1 балл.
• оценка «5» – 9–10 баллов;
• оценка «4» – 7–8 баллов;
• оценка «3» – 5–6 баллов;
• оценка «2» – менее 5 баллов.
I уровень сложности
№ 1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, АС = 6, АВ = 3.
Найдите: а) AB • AC; б) AO и AD; в) AD • DC.
Решение:
а) Векторы AB и AC образуют угол ∠BAC.
AB = 3, AC = 6.
Из прямоугольного треугольника ABC: cos(∠BAC) = AB/AC = 3/6 = 1/2.
AB • AC = |AB|·|AC|·cos(∠BAC) = 3·6·(1/2) = 9.
б) AO = AC/2 = 6/2 = 3 (диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам).
AD = BC. Из ΔABC по теореме Пифагора: BC = √(AC² – AB²) = √(36 – 9) = √27 = 3√3.
в) AD • DC: векторы AD и DC перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно 0.
Ответ: а) 9; б) AO = 3, AD = 3√3; в) 0.
№ 2. Найдите скалярное произведение векторов: а) a{2; –3} и b{–2; 1/3}; б) I и c {4; 0}.
Решение:
а) a • b = 2·(–2) + (–3)·(1/3) = –4 – 1 = –5.
б) Под i, вероятно, подразумевается единичный вектор оси Ox, т.е. i{1; 0}.
Тогда i • c = 1·4 + 0·0 = 4.
Ответ: а) –5; б) 4.
II уровень сложности
№ 1. В треугольнике MNK MN = NK, NE – биссектриса, F ∈ NE, NE = 5, MN = 10. Найдите: а) MN • MK; б) МК • (FN + КР); в) NE • KN.
Подготовка к решению:
Дано в треугольнике MNK: MN = NK = 10 (равнобедренный треугольник); NE — биссектриса угла N; F ∈ NE; NE = 5.
Требуется найти: а) MN • MK; б) MK • (FN + KE); в) NE • KN.
Шаг 1. Геометрическая модель и система координат
Поскольку MN = NK, треугольник MNK — равнобедренный с основанием MK.
В равнобедренном треугольнике биссектриса NE является также медианой и высотой:
─ E — середина MK;
─ NE ⊥ MK.
Введём прямоугольную систему координат:
1. Поместим точку N в начало координат: N(0; 0).
2. Направим ось Oy по биссектрисе NE. Так как NE = 5, то E(0; 5).
3. Ось Ox перпендикулярна NE. Точки M и K симметричны относительно Oy.
Пусть M( ─ a; 5), K(a; 5) (так как E(0; 5) — середина MK).
Найдём a из условия MN = 10:
MN = √{( ─ a ─ 0)^2 + (5 ─ 0)^2} = √{a^2 + 25} = 10 ⇒ a² + 25 = 100 ⇒ a² = 75 ⇒ a = 5√3.
Итак, координаты точек: M( ─ 5√3; 5); K(5√3; 5); N(0; 0); E(0; 5).
Шаг 2. Вычисление векторов
1. MN = N ─ M = (0 ─ ( ─ 5√3); 0 ─ 5) = (5√3; ─ 5).
2. MK = K ─ M = (5√3 ─ ( ─ 5√3); 5 ─ 5) = (10√3; 0).
3. KN = N ─ K = (0 ─ 5√3; 0 ─ 5) = ( ─ 5√3; ─ 5).
4. NE = E ─ N = (0 ─ 0; 5 ─ 0) = (0; 5).
5. KE = E ─ K = (0 ─ 5√3; 5 ─ 5) = ( ─ 5√3; 0).
Точка F ∈ NE, её координаты (0; y), где 0 ≤ y ≤ 5. Тогда:
6. FN = N ─ F = (0 ─ 0; 0 ─ y) = (0; ─ y).
Решение по пунктам:
► а) MN • MK
Скалярное произведение:
MN • MK = (5√3) • (10√3) + ( ─ 5) • 0 = 50 • 3 + 0 = 150.
Ответ а): 150.
► б) MK • (FN + KE)
1. Сумма векторов:
FN + KE = (0; ─ y) + ( ─ 5√3; 0) = ( ─ 5√3; ─ y).
2. Скалярное произведение с MK = (10√3; 0):
MK • (FN + KE) = (10√3) • ( ─ 5√3) + 0 • ( ─ y) = ─ 50 • 3 + 0 = ─ 150.
Ответ б): ─150 (результат не зависит от y, т. е. от положения точки F).
► в) NE • KN
Скалярное произведение:
NE • KN = 0 • ( ─ 5√3) + 5 • ( ─ 5) = 0 ─ 25 = ─ 25.
Ответ в): ─25.
№ 2. Найдите скалярное произведение векторов:
а) а + b и а – b, если а{3; –4} и b{–2; 0};
б) i – j и 2i + Зj, если i и j – координатные векторы.
Решение:
а) а + b = {3 + (–2); –4 + 0} = {1; –4}
а – b = {3 – (–2); –4 – 0} = {5; –4}
(а + b) • (а – b) = 1·5 + (–4)·(–4) = 5 + 16 = 21.
б) i{1; 0}, j{0; 1}.
i – j = {1; –1}
2i + 3j = {2; 3}
(i – j) • (2i + 3j) = 1·2 + (–1)·3 = 2 – 3 = –1.
Ответ: а) 21; б) –1.
III уровень сложности
№ 1. В трапеции ABCD ∠А = 90°, AD и ВС – основания, ВС = 6, AD = 10, ∠CAD = 30°. Найдите: а) АВ • ВС; б) АС • AD; в) BC • DA.
Решение:
1) ∠A = 90°, ∠CAD = 30° ⇒ ∠CAB = 90° − 30° = 60°.
2) Проведём высоту CH из точки C на AD (CH ⟂ AD).
Так как ABCD – прямоугольная трапеция (∠A = 90°, ∠B = 90°), то AB = CH.
Рассмотрим ΔABC: раз BC || AD и ∠A = 90°, то ∠B = 90° (внутренние односторонние углы).
Значит AB ⟂ BC и AB ⟂ AD.
3) Из ΔABC: ∠CAB = 60°, ∠B = 90°, BC = 6.
tg 60° = BC / AB ⇒ √3 = 6 / AB ⇒ AB = 6/√3 = 2√3.
4) Теперь скалярные произведения:
а) АВ • ВС = |AB|·|BC|·cos(∠B между AB и BC) = (2√3)·6·cos 90° = 0.
б) АС • AD = |AC|·|AD|·cos(∠CAD).
Из ΔABC: AC = BC / sin 60° = 6 / (√3/2) = 12/√3 = 4√3.
cos 30° = √3/2.
Тогда АС • AD = (4√3)·10·(√3/2) = 4√3·10·√3/2 = (4·3·10)/2 = 120/2 = 60.
в) BC • DA = |BC|·|DA|·cos(угла между BC и DA).
BC || AD, направление BC совпадает с направлением AD? Нет: BC и DA направлены противоположно, так как DA – от D к A (вдоль AD вверх), BC – от B к C (вдоль BC, но BC || AD и направление от B к C совпадает с направлением от A к D? Проверим: A → D, B → C, AD и BC параллельны и одинаково направлены? В трапеции AD и BC – основания, обычно AD > BC, они параллельны и одинаково направлены (от меньшего к большему вдоль одной прямой). Тогда BC и DA: DA – вектор от D к A, противоположен AD. Значит угол между BC и DA = 180°, cos 180° = –1.
BC • DA = 6·10·(–1) = –60.
Ответ: а) 0; б) 60; в) –60.
№ 2. При каком значении х векторы АВ и АС перпендикулярны, если известно, что A(х; 3), В( 1; 1), С(–2; 4)?
Решение:
1) Вектор AB = (1 – x; 1 – 3) = (1 – x; –2).
Вектор AC = (–2 – x; 4 – 3) = (–2 – x; 1).
2) Условие перпендикулярности: AB • AC = 0.
(1 – x)(–2 – x) + (–2)·1 = 0.
Раскроем: (1 – x)(–2 – x) = –2 – x + 2x + x² = –2 + x + x².
Тогда: –2 + x + x² – 2 = 0 ⇒ x² + x – 4 = 0.
3) D = 1 + 16 = 17.
x = (–1 ± √17)/2.
Ответ: x = (–1 ± √17)/2.
№ 3. Решить задачи (устно). Дано: а{3;–4}, b{–2; 1}, с{–2; –1,5}.
а) Найдите: а • b; b • с; с • а.
б) Перпендикулярны ли векторы а и b; b и с; с и a?
в) Каким (острым, тупым или прямым) является угол между векторами а и b; b и с; а и с?
г) Найдите абсциссу вектора d, если известно, что его ордината равна 4 и d ⊥ b.
д) Найдите а(b + с).
Решение:
а) a • b = 3·(–2) + (–4)·1 = –6 – 4 = –10.
b • c = (–2)·(–2) + 1·(–1,5) = 4 – 1,5 = 2,5.
c • a = (–2)·3 + (–1,5)·(–4) = –6 + 6 = 0.
б) Перпендикулярны, если скалярное произведение = 0.
a • b = –10 ≠ 0 ⇒ нет.
b • c = 2,5 ≠ 0 ⇒ нет.
c • a = 0 ⇒ да, c ⟂ a.
в) Знак скалярного произведения:
a • b < 0 ⇒ угол тупой.
b • c > 0 ⇒ угол острый.
c • a = 0 ⇒ угол прямой.
г) d{x; 4}, d ⊥ b ⇒ d • b = 0.
x·(–2) + 4·1 = 0 ⇒ –2x + 4 = 0 ⇒ x = 2.
д) a(b + c) = a • b + a • c.
a • b = –10 (из п.а).
a • c = c • a = 0 (из п.а).
Итого: –10 + 0 = –10.
Ответ: а) –10; 2,5; 0; б) нет; нет; да; в) тупой; острый; прямой; г) 2; д) –10.
Вы смотрели: Геометрия 9 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Проверочная работа Скалярное произведение векторов с ответами (3 уровня сложности). Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».
