Геометрия в 9 классе (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Самостоятельная работа № 4 по теме «ВЕКТОРЫ. Обобщение темы» с ответами (2 уровня сложности). Код материалов: Геометрия 9 класс Самостоятельная 4.
№ 1. В трапеции ABCD АВ = СD высота ВН делит основание на два отрезка, меньший из которых равен 5 см. Найдите AD, если средняя линия трапеции равна 9 см. ОТВЕТ: AD = 14 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
1. Трапеция равнобедренная (AB = CD), BH — высота на основание AD.
2. BH делит AD на отрезки: AH и HD. Меньший из них AH = 5 см.
3. В равнобедренной трапеции AH = (AD ─ BC)/2.
4. Средняя линия m = (AD + BC)/2 = 9 ⇒ AD + BC = 18.
5. Из AH = (AD ─ BC)/2 = 5 получим AD ─ BC = 10.
6. Сложим:
(AD + BC) + (AD ─ BC) = 18 + 10
2AD = 28 ⇒ AD = 14
Ответ: AD = 14 см.
№ 2. На стороне ВС прямоугольника ABCD отмечена точка К так, что ВК : КС =3:4. Выразите векторы АК, DK через векторы а = АВ, b = AD. ОТВЕТ: AK = a + 3/7 • b, DK = a ─ 4/7 • b.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
1. AK = AB + BK.
2. BK = 3/7 BC, BC = AD = b.
3. AK = a + 3/7 b.
4. DK = DC + CK.
5. DC = AB = a, CK = 4/7 CB = ─4/7 b.
6. DK = a ─ 4/7 b.
Ответ: AK = a + 3/7 b, DK = a ─ 4/7 b.
№ 3. Точки Р и Е лежат соответственно на сторонах ВС и DC параллелограмма ABCD так, что ВР = PC и DE : ЕС =1:2. Выразите через векторы m = АВ, n = AD векторы АР, АЕ, DP, BE, РЕ. ОТВЕТ: AP = m + 1/2 • n, AE = 1/3 • m + n, DP = m ─ 1/2 • n, BE = ─2/3 • m + n, PE = ─2/3 • m + 1/2 • n.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
1. AP = AB + BP = m + (1/2) BC = m + (1/2) n.
2. AE = AD + DE = n + (1/3) DC = n + (1/3) m.
3. DP = DC + CP = m ─ (1/2) BC = m ─ (1/2) n.
4. BE = BC + CE = n + (2/3) CD = n ─ (2/3) m.
5. PE = AE ─ AP = (n + (1/3) m) ─ (m + (1/2) n) = ─(2/3) m + (1/2) n.
№ 4. В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна 12 см, а большая составляет с большим основанием угол 45°. Найдите основания трапеции, если ее средняя линия равна 20 см. ОТВЕТ: BC = 14 см, AD = 26 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
1. Пусть ABCD — прямоугольная трапеция, AB \perp AD, AB = 12 — меньшая боковая сторона, CD — наклонная, ∠D = 45°.
2. Опустим высоту CH из C на AD: CH = AB = 12.
3. В △ CHD: ∠D = 45° ⇒ HD = CH = 12.
4. BC = AH, AD = AH + HD = BC + 12.
5. Средняя линия m = (BC + AD)/2 = (BC + BC + 12)/2 = BC + 6 = 20 ⇒ BC = 14.
6. AD = 14 + 12 = 26.
Ответ: BC = 14 см, AD = 26 см.
№ 5. В равнобедренной трапеции ABCD ∠A = ∠D = 45°, ВС = 4 см, а высота трапеции равна 3 см. Найдите среднюю линию трапеции. ОТВЕТ: 7 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
1. Опустим высоты BH и CK на AD.
2. AH = KD = h = 3 (т.к. ∠A = 45°, катеты равны).
3. AD = AH + HK + KD = 3 + BC + 3 = 3 + 4 + 3 = 10.
4. Средняя линия m = (BC + AD)/2 = (4 + 10)/2 = 7.
Ответ: m = 7 см.
№ 6. В трапеции МНКР ∠M= 90°, ∠K = 150°, НК = 2 см, диагональ МК перпендикулярна боковой стороне КР. Найдите среднюю линию трапеции. ОТВЕТ: 5 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано: трапеция MNKQ, ∠M = 90°, ∠K = 150°, HK = 2 см, MK ⊥ KP.
Решение:
1. Поместим трапецию в систему координат:
* Точка M в начале координат: M(0,0)
* Основание MH лежит на оси OX
* Боковая сторона MK лежит на оси OY
2. Найдем координаты точки K:
* Так как MK ⊥ KP и ∠K = 150°, то ∠MKH = 150° ─ 90° = 60°
* В прямоугольном треугольнике MHK: HK = 2 см, ∠MKH = 60°
* По свойству прямоугольного треугольника с углом 30°: MK = 2HK = 4 см
* Координаты точки K: K(0,4)
3. Найдем координаты точки P:
* В треугольнике MKP: ∠KMP = 90° ─ 30° = 60°
* ∠KPM = 30°
* По свойству прямоугольного треугольника: MP = 2MK = 8 см
* Координаты точки P: P(8,4)
4. Координаты точки H:
* H лежит на оси OX на расстоянии HK = 2 см от точки K
* H(2,0)
5. Найдем длины оснований:
* Верхнее основание HK = 2 см (по условию)
* Нижнее основание MP = 8 см (расстояние между точками M(0,0) и P(8,4))
6. Средняя линия трапеции:
l = (HK + MP)/2 = (2 + 8)/2 = 5 см
Ответ: средняя линия трапеции равна 5 см.
№ 7. Дан треугольник АВС. Постройте вектор:
а) –3 • (AC – AB + ½ • CB); б) –3/2 • (AB + BC – ½ • AC). ОТВЕТ: а) ─3/2 • BC; б) ─3/4 • AC.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Упростим выражения:
а) AC ─ AB = BC, BC + (1/2) CB = BC ─ (1/2) BC = (1/2) BC.
─3 • (1/2) BC = ─(3/2) BC.
Вектор: ─(3/2) BC — направлен противоположно BC, длина в 1.5 раза больше.
б) AB + BC = AC, AC ─ (1/2) AC = (1/2) AC.
─(3/2) • (1/2) AC = ─(3/4) AC.
Вектор: ─(3/4) AC — направлен противоположно AC, длина 0.75 от AC.
Ответ: а) ─(3/2) BC; б) ─(3/4) AC.
№ 8. Из условия РВ – OD + х – СМ = РА – ВМ + АО найдите длину вектора х. ОТВЕТ: |x| = CD.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
1. Перенесем известные векторы в одну сторону:
x = PA ─ BM + AO ─ PB + OD + CM.
2. Группируем:
x = (PA ─ PB) + (AO + OD) + (CM ─ BM).
3. PA ─ PB = BA.
4. AO + OD = AD.
5. CM ─ BM = CM + MB = CB.
6. x = BA + AD + CB.
7. BA + AD = BD.
8. BD + CB = CB + BD = CD.
9. Значит, x = CD ⇒ |x| = |CD|.
Ответ: |x| = CD.
№ 9. Из условия m = MN + PR – МК + NP – КР найдите длину вектора m. ОТВЕТ: |m| = PR.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
1. m = MN + NP + PR ─ MK ─ KP.
2. MN + NP = MP.
3. MP + PR = MR.
4. m = MR ─ (MK + KP).
5. MK + KP = MP.
6. m = MR ─ MP = PR.
7. |m| = |PR|.
Ответ: |m| = PR.
Геометрия 9 класс Самостоятельная 4
II уровень сложности (задания)
Ответы на II уровень сложности
№ 1. Точки А и В лежат соответственно на сторонах NK и КР трапеции MNKP так, что NA = АК, 2КВ = ВР. Выразите векторы МА, МВ, АВ через векторы а = MN, b = МР, если известно, что основание NK равно половине МР. ОТВЕТ: MA = a + 1/4 • b, MB = 2/3 • a + 2/3 • b, AB = ─1/3 • a + 5/12 • b.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
1. Дано:
a = MN , b = MP , NK = (1/2) MP.
В трапеции MNKP стороны MN и KP параллельны, NK и MP — основания? Нет: по обозначению MNKP — вершины по порядку, значит MN ∥ KP , NK и MP — боковые стороны? Проверим:
M → N → K → P : MN ∥ KP — основания NK и MP — нет, это боковые стороны. Но сказано: «основание NK равно половине MP» — значит NK — одно основание, MP — другое основание. Тогда MN и KP — боковые стороны.
Но тогда b = MP — вектор от M до P — это диагональ? Нет: P — соседняя с K и M? Нет: порядок M N K P: стороны: MN, NK, KP, PM.
MP — диагональ. Значит b — не сторона, а диагональ.
Уточним: по условию: a = MN , b = MP.
Тогда MP = b , MN = a.
2. Найдем координаты точек в векторном виде (привяжем к точке M):
MN = a, MP = b
Трапеция MNKP : положим M = 0. Тогда N = a , P = b. K = N + NK.
Условие: NK = (1/2) MP , MP = |b| , NK параллельно MP (основания) ⇒ NK = (1/2) MP = (1/2) b.
Тогда K = a + (1/2) b.
3. Точка A ∈ NK, NA = AK ⇒ A — середина NK.
NA = (1/2) NK = (1/2) • (1/2) b = (1/4) b.
A = N + NA = a + (1/4) b.
4. Точка B ∈ KP, 2KB = BP ⇒ KB : BP = 1 : 2 ⇒ B делит KP в отношении 1:2 от K к P.
KP = P ─ K = b ─ (a + (1/2) b) = ─a + (1/2) b.
KB = (1/3) KP = 1/3 (─a + (1/2) b) = ─(1/3) a + (1/6) b.
B = K + KB = (a + (1/2) b) + (─(1/3) a + (1/6) b) = (2/3) a + (2/3) b.
5. Векторы:
MA = A ─ M = a + (1/4) b
MB = B = (2/3) a + (2/3) b
AB = B ─ A = ((2/3) a + (2/3) b) ─ (a + (1/4) b) = ─(1/3) a + 5/12 b
Ответ: MA = a + (1/4) b, MB = (2/3) a + (2/3) b, AB = ─(1/3) a + 5/12 b
№ 2. Точки Р и Е – середины сторон ВС и CD параллелограмма ABCD. Выразите вектор АС через векторы х = АР, у = АЕ. ОТВЕТ: AC = 2/3 • (x + y).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
1. x = AP = AB + BP = AB + (1/2) BC
y = AE = AD + DE = AD + (1/2) DC
В параллелограмме AD = BC , DC = AB.
2. Тогда:
x = AB + (1/2) BC … (1)
y = BC + (1/2) AB … (2)
3. Умножим (2) на 2: 2y = 2BC + AB
Вычтем (1): 2y ─ x = 2BC + AB ─ AB ─ (1/2) BC = (3/2) BC
BC = (2/3) (2y ─ x) = (4/3) y ─ (2/3) x
4. Из (1): AB = x ─ (1/2) BC = x ─ \frac12((4/3) y ─ (2/3) x)
AB = x ─ (2/3) y + (1/3) x = (4/3) x ─ (2/3) y
5. AC = AB + BC = ((4/3) x ─ (2/3) y) + ((4/3) y ─ (2/3) x)
= ((4/3) ─ (2/3)) x + (─(2/3) + (4/3)) y = (2/3) x + (2/3) y
Ответ: AC = (2/3) (x + y)
№ 3. В равнобедренной трапеции диагональ, равная 10 см, составляет с основанием угол в 45°. Найдите среднюю линию трапеции. ОТВЕТ: 5√2 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано: равнобедренная трапеция ABCD, диагональ AC = 10 см, ∠CAD = 45°.
Найти: среднюю линию трапеции
Решение:
1. Обозначим точки:
A, B, C, D — вершины трапеции
CH — высота, проведённая к основанию AD
KP — средняя линия трапеции
2. Рассмотрим треугольник ACH:
∠CAD = 45° (по условию)
∠CHA = 90° (так как CH — высота)
Следовательно, ∠ACH = 45° (180° – 45° – 90° = 45°)
Треугольник ACH — равнобедренный прямоугольный
3. Найдём AH:
В прямоугольном треугольнике ACH:
AH = AC • cos 45°
AH = 10 • (√2)/2 = 5√2 см
4. По свойству равнобедренной трапеции:
Отрезок AH равен полусумме оснований
AH = (BC + AD) / 2
5. Средняя линия трапеции:
Средняя линия равна полусумме оснований
KP = (BC + AD)/2 = AH = 5√2 см
Ответ: средняя линия трапеции равна 5√2 см.
№ 4. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 15 см, а ее средняя линия 12 см. Найдите периметр трапеции. ОТВЕТ: 54 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
1. Средняя линия = (верхнее основание + нижнее основание)/2 = 12 ⇒ сумма оснований = 24 см.
2. Боковые стороны по 15 см (равнобедренная).
3. Периметр = 24 + 15 + 15 = 54 см.
Ответ: 54 см.
№ 5. Докажите, что AA1 + ВВ1 + СС1 = 0, где АА1, BB1, СС1 – медианы треугольника АВС. ОТВЕТ: см. в спойлере
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
1. Медианы: AA₁ = \frac12(AB + AC) ─ A в координатах? Лучше:
AA₁ = A₁ ─ A , A₁ — середина BC: A₁ = (B + C)/2.
Тогда AA₁ = (B + C)/2 ─ A.
2. Аналогично:
BB₁ = (C + A)/2 ─ B
CC₁ = (A + B)/2 ─ C
3. Сложим:
AA₁ + BB₁ + CC₁ = (B+C)/2 ─ A + (C+A)/2 ─ B + (A+B)/2 ─ C
= (B+C + C+A + A+B)/2 ─ (A+B+C)
= (2A + 2B + 2C)/2 ─ (A+B+C)
= (A+B+C) ─ (A+B+C) = 0. Доказано.
№ 6. Докажите, что если для четырехугольника ABCD и произвольной точки О выполняется равенство ОВ – ОА = ОС – OD, то этот четырехугольник – параллелограмм. ОТВЕТ: см. в спойлере
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
1. OB ─ OA = AB
OC ─ OD = DC
2. Условие: AB = DC
3. Векторное равенство AB = DC означает, что стороны AB и DC равны и параллельны ⇒ ABCD — параллелограмм. Доказано.
№ 7. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, точка Е лежит на стороне CD так, что DE : ЕС = 2:5. Выразите вектор ОЕ через векторы х = АВ, у = AD.
ОТВЕТ:
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано: параллелограмм ABCD, x = AB , y = AD, Е ∈ CD, DE : EC = 2:5. Решение:
1. Введём координаты. Поместим A(0,0) , B(1,0) (т.к. x = (1,0)), D(0,1) (т.к. y = (0,1)).
Тогда C = B + BC , но BC = AD = (0,1) , значит C = (1,1) + (0,1)? нет, проверяем: BC = AD = (0,1) , B = (1,0) , тогда C = B + BC = (1,0) + (0,1) = (1,1).
2. Точка O — пересечение диагоналей
O — середина AC :
A = (0,0) , C = (1,1) ⇒ O = ((0+1)/2, (0+1)/2) = (0.5, 0.5).
3. Точка E на CD
D = (0,1) , C = (1,1).
Отрезок DC : D → C вектор (1,0).
DE:EC = 2:5 ⇒ E = D + 2/7(C ─ D).
C ─ D = (1,0).
E = (0,1) + 2/7(1,0) = (2/7, 1).
4. Вектор OE
O = (0.5, 0.5) , E = (2/7, 1).
OE = (2/7 ─ 0.5, 1 ─ 0.5) = (2/7 ─ (1/2), 0.5).
Первая координата: 2/7 ─ (1/2) = (4 ─ 7)/14 = ─3/14.
Вторая: 0.5 = 7/14.
Итак, OE = (─3/14, 7/14) = 1/14(─3, 7).
В базисе x = (1,0) , y = (0,1) :
OE = (─3x + 7y)/14.
Ответ: (─3x + 7y)/14.
№ 8. В треугольнике АВС АВ = 15 см, ВС = 17 см, АС = 8 см. Выразите вектор ВК через векторы ВА и ВС. Найдите длину вектора ВК. ОТВЕТ: вектор BK = 1/2(BA + BC), длина вектора BK = √241 см ≈ 15,52 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 9. На окружности с центром О постройте такие точки а, b, с, что: а) OA + ОВ = 0; б) OA + ОВ = ОС; в) |OВ – OA| = ОС.
Вы смотрели: Геометрия 9 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Самостоятельная работа № 4 «Обобщение по теме ВЕКТОРЫ» с ответами (по 2 варианта). Геометрия 9 класс Самостоятельная 4. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».
