Геометрия в 9 классе УМК Атанасян Самостоятельная работа № 7 по теме «Уравнения окружности и прямой» с частичными ответами (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Код материалов: Геометрия 9 класс Самостоятельная 7.

Геометрия 9: Контрольные Геометрия 9: Самостоятельные

Геометрия 9 класс.
Самостоятельная № 7

» Уравнения окружности и прямой»

I уровень сложности

1 ур. Вариант 1

№ 1. Окружность с центром в точке А(–5; 3) проходит через точку В(2; –1). Напишите уравнение этой окружности.
Решение:
Радиус окружности равен расстоянию между точками A(─5; 3) и B(2; ─1) :
R = √{(2 ─ (─5))² + (─1 ─ 3)²} = √{7² + (─4)²} = √{49 + 16} = √65.
Уравнение окружности с центром (a; b) и радиусом R :
(x ─ a)² + (y ─ b)² = R².
Подставляем a = ─5, b = 3, R² = 65 получаем (x+5)² + (y─3)² = 65.
ОТВЕТ: (х + 5)² + (у – 3)² = 65.

№ 2. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку В(–2; 4).
Решение:
Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид y = kx.
Найдём угловой коэффициент k , используя точку B(─2; 4) :
k = 4/(─2) = ─2.
Уравнение прямой: y = ─2x (в форме линейной функции),
или иначе: 2х + у = 0 (линейное уравнение в общей форме).
ОТВЕТ: 2х + у = 0.

№ 3. Выясните взаимное расположение прямой x = –5 и окружности (x – 7)² + (у – 6)² = 81.
Решение:
Подставим x = ─5 в уравнение окружности:
(─5 ─ 7)² + (y ─ 6)² = 81,
(─12)² + (y ─ 6)² = 81,
144 + (y ─ 6)² = 81,
(y ─ 6)² = 81 ─ 144 = ─63.
Получили отрицательное число, значит, действительных решений нет.
ОТВЕТ: нет общих точек.

1 ур. Вариант 2

№ 1. Окружность с центром в точке М(2; –4) проходит через точку N(–3; 1). Напишите уравнение этой окружности.
Решение:
Радиус окружности равен расстоянию между точками M(2; ─4) и N(─3; 1) :
R = √{(─3 ─ 2)² + (1 ─ (─4))²} = √{(─5)² + 5²} = √{25 + 25} = √50.
Уравнение окружности с центром (a; b) и радиусом R :
(x ─ a)² + (y ─ b)² = R².
Подставляем a = 2 , b = ─4 , R² = 50 получаем (x─2)² + (y+4)² = 50.
ОТВЕТ: (х – 2)² + (у + 4)² = 50.

№ 2. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку С(–6; –3).
Решение:
Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид y = kx.
Найдём угловой коэффициент k , используя точку C(─6; ─3) :
k = (─3)/(─6) = 1/2.
Уравнение прямой: y = 1/2x (в форме линейной функции),
или иначе: х – 2у = 0 (линейное уравнение в общей форме)
ОТВЕТ: х – 2у = 0.

№ 3. Выясните взаимное расположение прямой у = 25 и окружности (х – 5)² + (у – 7)² = 100.
Решение:
Подставим y = 25 в уравнение окружности:
(x ─ 5)² + (25 ─ 7)² = 100,
(x ─ 5)² + 18² = 100,
(x ─ 5)² + 324 = 100,
(x ─ 5)² = 100 ─ 324 = ─224.
Получили отрицательное число, значит, действительных решений нет.
ОТВЕТ: нет общих точек.

II уровень сложности

2 ур. Вариант 1

№ 1. Окружность проходит через точки М(2; 0) и N(–4; 8). Напишите уравнение этой окружности, если отрезок MN является ее диаметром.
Решение:
Если MN — диаметр, то центр окружности — середина MN , а радиус равен половине длины MN.
Центр: O = ((2 + (─4))/2, (0 + 8)/2) = (─1, 4)
|MN| = √{(─4 ─ 2)² + (8 ─ 0)²} = √{36 + 64} = √100 = 10
Радиус: R = 10/2 = 5
Уравнение окружности: (x+1)² + (y─4)² = 25.
ОТВЕТ: (х + 1)² + (у – 4)² = 25.

№ 2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки A(1; 3) и В(–2; –3).
Решение:
Уравнение прямой через две точки:
(x ─ 1)/(─2 ─ 1) = (y ─ 3)/(─3 ─ 3)
(x ─ 1)/(─3) = (y ─ 3)/(─6)
Умножаем на ─6:
2(x ─ 1) = y ─ 3
2x ─ 2 = y ─ 3
y = 2x + 1 (в форме линейной функции)
или иначе 2х – у + 1 = 0 (уравнение в общей форме)
ОТВЕТ: 2х – у + 1 = 0.

№ 3. Выясните взаимное расположение окружности, заданной уравнением (х – З)² + (у + 5)² = 25, и прямой у = –1.
Решение: Центр окружности O(3; ─5), R = 5.
Прямая y = ─1 горизонтальная.
Расстояние от центра до прямой: d = |─1 ─ (─5)| = |─1 + 5| = 4
Так как d < R (4 < 5), прямая пересекает окружность в двух точках.
Чтобы узнать общие точки, нужно приравнять уравнения:
(х – 3)² + (–1 + 5)² = 25.
Упростим выражение: (х – 3)² + 16 = 25.
(х – 3)² = 25 – 16 = 9.
Найдём значение х:
|х – 3| = 3
х1 = 6, x2 = 0.
ОТВЕТ: пересекаются в точках (0; –1) и (6; –1).

2 ур. Вариант 2

№ 1. Окружность проходит через точки P(8; –4) и T(–2; 6). Напишите уравнение этой окружности, если известно, что РТ – диаметр этой окружности.
Решение. Центр — середина PT:
O = ((8 + (─2))/2, (─4 + 6)/2) = (3, 1)
|PT| = √{(─2 ─ 8)² + (6 ─ (─4))²} = √{(─10)² + 10²} = √{100 + 100} = √200 = 10√2
Радиус: R = 10√2/2 = 5√2
Уравнение: (x─3)² + (y─1)² = (5√2)² = 50
ОТВЕТ: (х – 3)² + (у – 1)² = 50.

№ 2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки М(3; 5) и N(–6; –1).
Решение:
(x ─ 3)/(─6 ─ 3) = (y ─ 5)/(─1 ─ 5)
(x ─ 3)/(─9) = (y ─ 5)/(─6)
Умножаем на ─18:
2(x ─ 3) = 3(y ─ 5)
2x ─ 6 = 3y ─ 15
3y = 2x + 9
y = 2/3x + 3 (в форме линейной функции)
или иначе 2х – 3у + 9 = 0 (уравнение в общей форме)
ОТВЕТ: 2х – 3у + 9 = 0.

№ 3. Выясните взаимное расположение окружности, заданной уравнением (х + 7)² + (у + 4)² = 25, и прямой у = –7.
Решение. Центр O(─7; ─4), R = 5.
Прямая y = ─7.
Расстояние от центра до прямой: d = |─7 ─ (─4)| = |─7 + 4| = 3
Так как d < R (3 < 5), прямая пересекает окружность в двух точках.
Чтобы узнать общие точки, нужно приравнять уравнения:
(х + 7)² + (–7 + 4)² = 25
(х + 7)² + 9 = 25
(х + 7)² = 16 = 4²
|x + 7| = 4  ⇒  x1 = –3, x2 = –11.
ОТВЕТ: пересекаются в точках (–3; –7) и (–11; –7).

III уровень сложности

3 ур. Вариант 1

№ 1. Докажите, что линия, заданная уравнением х² + 8х + у² – 6х – 24 = 0, является уравнением окружности. Найдите расстояние от центра окружности до прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку (5; –6).
Решение:
1. Приведём уравнение:
x² + 8x + y² ─ 6x ─ 24 = 0
x² + 2x + y² ─ 24 = 0
Выделим полный квадрат по x :
(x + 1)² ─ 1 + y² ─ 24 = 0
(x + 1)² + y² = 25
Это уравнение окружности с центром O(─1; 0) , R = 5.
2. Прямая, параллельная оси ординат и проходящая через (5; ─6) , имеет уравнение x = 5.
Расстояние от центра (─1; 0) до прямой x = 5  ⇒  d = |5 ─ (─1)| = 6.
ОТВЕТ: Уравнение окружности: (x + 1)² + y² = 25, расстояние от центра до прямой = 6 единиц.

№ 2. Найдите площадь треугольника, образованного осями координат и прямой, проходящей через точки А(1; 10) и B(–1; –4).
Решение:
1. Уравнение прямой через A и B :
Угловой коэффициент k = (─4 ─ 10)/(─1 ─ 1) = (─14)/(─2) = 7.
Уравнение: y ─ 10 = 7(x ─ 1)
y = 7x + 3.
2. Найдём точки пересечения с осями:
С осью Oy (x = 0): y = 3 → (0; 3).
С осью Ox (y = 0): 0 = 7x + 3 → x = ─ 3/7 → (─ 3/7; 0).
3. Площадь прямоугольного треугольника с катетами 3 и 3/7 :
S = 1/2 • 3 • 3/7 = 9/14.
ОТВЕТ: 9/14 кв. ед.

№ 3. Выясните взаимное расположение прямой х + y = 2 и окружности х² + у² = 4. Найдите расстояние от центра окружности до прямой.
Решение:
1. Центр окружности (0; 0) , R = 2.
Расстояние от центра до прямой x + y ─ 2 = 0 :
d = (|0 + 0 ─ 2|)/(√{1² + 1²}) = 2/√2 = √2.
2. Сравним d и R :
√2 ≈ 1,41 < 2 → прямая пересекает окружность в двух точках.
3. Чтобы найти точки их пересечения, решим систему уравнений:
{ x + y = 2,
{ x² + y² = 4.
Выразим y из первого уравнения: y = 2 ─ x.
Подставим y во второе уравнение
x² + (2 ─ x)² = 4.
x² + (4 ─ 4x + x²) = 4
2x² ─ 4x + 4 = 4.
Приведём уравнение к стандартному виду
2x² ─ 4x = 0.
x² ─ 2x = 0.
Решаем квадратное уравнение
x(x ─ 2) = 0.
x₁ = 0, x₂ = 2.
4. Используем y = 2 ─ x:
─ при x₁ = 0:  y₁ = 2 ─ 0 = 2;
─ при x₂ = 2:  y₂ = 2 ─ 2 = 0.
Получили две точки: A(0; 2) и B(2; 0).
5. Проверяем, принадлежат ли точки окружности
Подставим координаты в уравнение окружности x² + y² = 4:
─ для A(0; 2): 0² + 2² = 4 — верно;
─ для B(2; 0): 2² + 0² = 4 — верно.
ОТВЕТ: пересекаются в точках (0; 2) и (2; 0); расстояние от центра до прямой = √2.

3 ур. Вариант 2

№ 1. Докажите, что линия, заданная уравнением х² – 10х + у² + 4х – 7 = 0, является уравнением окружности. Найдите расстояние от центра окружности до прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку (–6; 4).
Решение: 1. Упростим:
x² ─ 10x + y² + 4x ─ 7 = 0
x² ─ 6x + y² ─ 7 = 0
Выделим полный квадрат по x :
(x ─ 3)² ─ 9 + y² ─ 7 = 0
(x ─ 3)² + y² = 16
Это окружность с центром O(3; 0) , R = 4.
2. Прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через (─6; 4) , имеет уравнение y = 4.
Расстояние от центра (3; 0) до прямой y = 4  ⇒  d = |4 ─ 0| = 4.
ОТВЕТ: Уравнение окружности: (x ─ 3)² + y² = 16 , расстояние от центра до прямой = 4 единицы.

№ 2. Найдите площадь треугольника, образованного осями координат и прямой, проходящей через точки М(2; 9) и N(–1; –3).
Решение:
1. Уравнение прямой через M и N :
Угловой коэффициент k = (─3 ─ 9)/(─1 ─ 2) = (─12)/(─3) = 4.
Уравнение: y ─ 9 = 4(x ─ 2)
y = 4x + 1.
2. Точки пересечения с осями:
С осью Oy (x = 0): y = 1  →  (0; 1).
С осью Ox (y = 0): 0 = 4x + 1  →  x = ─1/4  →  (─1/4; 0).
3. Площадь треугольника с катетами 1 и (1/4):
S = (1/2) • 1 • (1/4) = 1/8.
ОТВЕТ: 1/8 кв. ед.

№ 3. Выясните взаимное расположение прямой х – у = 4 и окружности х² + у² = 16. Найдите расстояние от центра окружности до прямой.
Решение:
1. Центр окружности (0; 0) , R = 4.
Расстояние от центра до прямой x ─ y ─ 4 = 0 :
d = (|0 ─ 0 ─ 4|)/(√{1² + (─1)²}) = 4/√2 = 2√2.
2. Сравним d и R :
2√2 ≈ 2,83 < 4 → прямая пересекает окружность в двух точках.
3. Чтобы найти точки пересечения, решим систему уравнений:
{ x ─ y = 4,
{ x² + y² = 16.
Выразим y из первого уравнения: y = x ─ 4.
Подставим y во второе уравнение:
x² + (x ─ 4)² = 16.
x² + (x² ─ 8x + 16) = 16
2x² ─ 8x + 16 = 16.
Приведём уравнение к стандартному виду
2x² ─ 8x = 0.
x² ─ 4x = 0.
Решаем квадратное уравнение
x(x ─ 4) = 0.
x₁ = 0, x₂ = 4.
4. Используем y = x ─ 4:
─ при x₁ = 0: y₁ = 0 ─ 4 = ─ 4;
─ при x₂ = 4: y₂ = 4 ─ 4 = 0.
Получили две точки: A(0; ─4) и B(4; 0).
5. Проверяем, принадлежат ли точки окружности
Подставим координаты в уравнение окружности x² + y² = 16:
─ для A(0; ─4): 0² + (─4)² = 16 — верно;
─ для B(4; 0): 4² + 0² = 16 — верно.
ОТВЕТ: пересекаются в точках (–4; 0) и (0; 4); расстояние от центра до прямой = 2√2.

Геометрия 9: Поурочные планы   Геометрия 9: Самостоятельные

Вы смотрели: Геометрия 9 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Самостоятельная работа № 7 «Уравнения окружности и прямой» с ответами (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 9 класс Самостоятельная 7. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».