Геометрия 7 класс Урок 5. Решение задач по теме «Измерение отрезков» с ответами. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. М.: Просвещение».
Вернуться в Поурочное планирование для 7 класса

Геометрия 7 класс. Урок 5.
Решение задач по теме «Измерение отрезков»

Основные дидактические цели урока: сформировать умение решать задачи на нахождение длины части отрезка или всего отрезка; научить логически мыслить; проверить знания и навыки решения задач по изученной теме.

I. Организационный момент.
Мотивация к учебной деятельности

Рассказать про сегодняшний урок и его план. Создать положительный настрой у обучающихся, показать цель, к которой нужно стремиться, рассказать о мотивах достижения цели и т.п.

II. Актуализация знаний учащихся

1. Проверить решение Дополнительной домашней задачи. (Справившийся с заданием учащийся заранее записывает решение на доске.)

Дано: AF = FB, ВК = КС, АС = 5 см (рис. 1.53). Найти: FK.
Решение: По условию задачи AF = FB, ВК = КС, тогда AF+ FB + ВК+ КС = АС, 2FB + 2ВК = 5 см, FB + ВК = 2,5 см, FB + ВК = FK, поэтому FK =2,5 см.
Ответ: FK = 2,5 см.

2. Решить устно задачи по готовым чертежам. (Рисунки к задачам подготовить на доске заранее).

а) ВС = 2,5 см (рис. 1.54). Найти: АС.
(Ответ: АС = 5 см.)
б) AD = 42 см, ВС = 11 см (рис. 1.55). Найти: АВ.
(Ответ: АВ = 20 см.)
в) АС = 18 дм. АВ : АС =5:4 (рис. 1.56). Найти: АВ.
(Ответ: АВ = 10 дм.)

Геометрия 7 класс Урок 5

III. Работа по теме урока

Методическая разработка задачи № 39 (с. 18)

Задание: Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АС = 5 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см?

1. Введение в задачу

Наводящие вопросы учителя для начала работы:
1. Что значит «точки лежат на одной прямой»?
(Ответ: через них можно провести одну прямую, и все они будут принадлежать этой прямой.)
2. Если три точки лежат на одной прямой, то какая из них может находиться между двумя другими?
(Ответ: любая из трёх точек может лежать между двумя другими, но только одна.)
3. Что можно сказать о длинах отрезков, если одна точка лежит между двумя другими?
(Ответ: длина большего отрезка равна сумме двух других.)
4. Как определить, какая точка лежит между двумя другими, если известны длины всех трёх отрезков?
(Ответ: нужно найти самый длинный отрезок — он равен сумме двух других; точка, которая является общей для двух меньших отрезков, лежит между двумя другими.)

2. Анализ условия

Наводящие вопросы для анализа данных:
1. Какие отрезки даны в условии?
(Ответ: АС = 5 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см.)
2. Какой из отрезков самый длинный?
(Ответ: АС = 5 см.)
3. Чему равна сумма двух других отрезков?
(Ответ: АВ + ВС = 3 см + 4 см = 7 см.)
4. Сравните длину самого длинного отрезка и сумму двух других.
(Ответ: 5 см ≠ 7 см.)
5. Что из этого следует?
(Ответ: точки не лежат на одной прямой.)

3. Полное решение задачи

Решение (оформление в тетради):
Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то больший из отрезков АВ, ВС и АС равен сумме двух других.
По условию:
— АС = 5 см — наибольший отрезок;
— АВ + ВС = 3 см + 4 см = 7 см.
Так как 5 см ≠ 7 см, то равенство не выполняется.
Ответ: точки А, В и С не лежат на одной прямой.

4. Тонкие моменты для обсуждения с классом

❓ Вопросы для выявления понимания:
1. Почему мы сравниваем именно самый длинный отрезок с суммой двух других?
(Ответ: потому что если точки лежат на одной прямой, то самый длинный отрезок — это расстояние между крайними точками, а два других — это части, на которые средняя точка делит этот отрезок.)
2. Может ли быть так, что самый длинный отрезок меньше суммы двух других?
(Ответ: да, это случай, когда точки не лежат на одной прямой — они образуют треугольник. В треугольнике длина любой стороны меньше суммы двух других сторон.)
3. А может ли самый длинный отрезок быть больше суммы двух других?
(Ответ: нет, для любых трёх точек на плоскости самый длинный отрезок всегда меньше или равен сумме двух других. Если он больше — такие точки не существуют.)
4. Что изменится, если бы АС = 7 см?
(Ответ: тогда 7 = 3 + 4, значит, точки лежат на одной прямой, и точка В лежит между А и С.)
5. А если бы АС = 6 см?
(Ответ: 6 ≠ 3 + 4, значит, точки не лежат на одной прямой.)
6. А если бы АС = 6 см, но мы не знали, какой отрезок самый длинный?
(Ответ: нужно было бы сравнить все варианты, но здесь АС всё равно самый длинный.)

5. Различные варианты «если бы…» (метод гипотетических ситуаций)

Вариант 1: Если бы точки лежали на одной прямой
Условие: Предположим, что АС = 7 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см.
❓ Вопрос: Лежат ли точки на одной прямой?
Решение: 7 = 3 + 4 ⇒ да, лежат. При этом точка В лежит между А и С.

Вариант 2: Если бы точка С лежала между А и В
Условие: АВ = 7 см, АС = 3 см, ВС = 4 см.
❓ Вопрос: Лежат ли точки на одной прямой?
Решение: 7 = 3 + 4 ⇒ да, лежат. При этом точка С лежит между А и В.

Вариант 3: Если бы точка А лежала между С и В
Условие: ВС = 7 см, АВ = 3 см, АС = 4 см.
❓ Вопрос: Лежат ли точки на одной прямой?
Решение: 7 = 3 + 4 ⇒ да, лежат. При этом точка А лежит между С и В.

Вариант 4: Треугольник (наши данные)
Условие: АС = 5 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см.
❓ Вопрос: Что это за фигура?
Решение: 5 ≠ 3 + 4 ⇒ точки не лежат на одной прямой. Они образуют треугольник. Такой треугольник называется прямоугольным (проверяем по теореме Пифагора: 5² = 3² + 4², т.е. 25 = 9 + 16).

Вариант 5: Если бы больший отрезок был меньше суммы двух других (остроугольный треугольник)
Условие: АС = 6 см, АВ = 4 см, ВС = 5 см.
❓ Вопрос: Лежат ли точки на одной прямой?
Решение: 6 ≠ 4 + 5, значит, точки не лежат на одной прямой. Образуют остроугольный треугольник.

Вариант 6: Если бы больший отрезок был больше суммы двух других (невозможная ситуация)
Условие: АС = 10 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см.
❓ Вопрос: Лежат ли точки на одной прямой?
Решение: 10 > 3 + 4. Таких трёх точек на плоскости не существует (нарушается неравенство треугольника). Учитель объясняет, что в геометрии есть правило: для любых трёх точек сумма длин любых двух отрезков больше длины третьего (если точки не лежат на одной прямой) или равна ему (если лежат). Если сумма меньше — таких точек не бывает.

6. Обобщение и вывод

❓ Вопросы для закрепления:
1. Сформулируйте признак принадлежности трёх точек одной прямой.
(Ответ: если больший из отрезков, соединяющих три точки, равен сумме двух других, то точки лежат на одной прямой.)
2. Что можно сказать о точках, если больший отрезок меньше суммы двух других?
(Ответ: точки не лежат на одной прямой, они образуют треугольник.)
3. Что можно сказать о точках, если больший отрезок больше суммы двух других?
(Ответ: таких точек на плоскости не существует.)
4. Какой вывод можно сделать по нашей задаче?
(Ответ: точки А, В и С не лежат на одной прямой, они являются вершинами прямоугольного треугольника.)

7. Памятка для учащихся (можно выдать на карточках)

Признак принадлежности трёх точек одной прямой:
1. Найти самый длинный из трёх отрезков.
2. Сравнить его длину с суммой длин двух других отрезков.
3. Если равны → точки лежат на одной прямой.
4. Если меньше → точки не лежат на одной прямой (образуют треугольник).
5. Если больше → таких точек не существует.

Эта подробная разработка поможет учителю провести разбор задачи максимально эффективно, охватив все возможные варианты и тонкие моменты.

Геометрия 7 класс Урок 5

Задача № 41.

Задание. На прямой отмечены точки О, А и В так, что ОА = 12 см, ОВ = 9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ, если точка О: а) лежит на отрезке АВ; б) не лежит на отрезке АВ.

Дано: О, А, В лежат на одной прямой, ОА = 12 см, ОВ = 9 см.
Найти: Расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ, если: а) О ∈ АВ; б) О ∉ АВ.
Решение: Пусть М – середина отрезка ОА, N – середина отрезка ОВ. Возможны два случая (рис. 1.57):
а) Если точка О лежит на отрезке АВ, то МО = АО : 2 = 6 см, NО = ВО : 2 = 4,5 см. Расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ равно длине отрезка MN, a MN = МО + ON = 6 см + 4,5 см = 10,5 см.
б) Если точка О не лежит на отрезке АВ, то МО = АО : 2 = 6 см, NО = ВО : 2 = 4,5 см. MN = МО – ON = 6 см – 4,5 см = 1,5 см.
(Ответ: а) 10,5 см; б) 1,5 см.)

Задача № 43. 

Задание. Отрезок, равный 28 см, разделён на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков 16 см. Найдите длину среднего отрезка.

Дано: АВ = 28 см, С, D ∈ АВ, М – середина АС, N – середина DB. MN = 16 см.
Найти: CD.
Решение: АВ = AM + MN + NB, NB = 28 см – 16 см = 12 см. М – середина АС, значит АМ = МС, N – середина BD, значит BN = ND. Так как AM + NB = 12 см, AM = МС, BN = ND, то МС + DN = 12 см. MN = МС + CD + DN = 16 см, МС + DN = 12 см, значит CD = MN – (MС + DN) = 16 см – 12 см = 4 см (рис. 1.58).
(Ответ: 4 см.)

Наводящие вопросы к задаче:
– На сколько отрезков разбит отрезок АВ точками М, N, С, D?
– Что вы можете сказать об этих отрезках? Есть ли среди данных отрезков равные?
– Длина какого отрезка равна 16 см?
– Чему равна сумма длин отрезков AM и NB? А сумма длин отрезков МС и DN?
– Как можно найти длину отрезка CD?

Геометрия 7 класс Урок 5

IV. Рефлексия учебной деятельности

1. Как найти длину отрезка, если точка делит его на два отрезка, длины которых известны?
2. Как определить, какая из трех точек лежит на прямой между двумя другими, если известны длины всех трех образовавшихся отрезков? Например, точки А, В и С лежат на одной прямой, АВ = 6 см, АС = 4 см, ВС = 10 см.
3. Каким может быть взаимное расположение точек А, В и С на прямой? Как найти длину отрезка АВ в каждом случае? Например, АС = 7 см, ВС = 5 см.

V. Домашнее задание

1. Решить задачи №42, 43 из учебника.
2. Решить дополнительную задачу.
   Длина отрезка АВ = 6 см. Внутри отрезка взята точка М. Найдите длину отрезка ВМ, если: а) АМ = 2ВМ; б) 2АМ = 3ВМ; в) АМ : ВМ = 1 : 5;  г) AM : ВМ = 3 : 4;  д) AM – ВМ = 2;  е) 2ВМ + 3АМ = 14.

Смотреть РЕШЕНИЕ дополнительной задачи из домашнего задания

АЛЬТЕРНАТИВА урока: Самостоятельная №1
(3 уровня сложности)

Самостоятельная работа № 1 с ответами

Вы смотрели: Геометрия 7 класс Урок 5. Решение задач «Измерение отрезков» с ответами. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение». В учебных целях использованы цитаты из пособия «Поурочные разработки по геометрии. 7 класс / Гаврилова Н.Ф. — М.: «.

Вернуться в Поурочное планирование для 7 класса