Рычаг. Равновесие рычага.
Момент силы. Правило моментов

Это дополнительный конспект к теме «Простые механизмы. КПД. «Золотое правило» механики».

Рычаг. Равновесие рычага

Рычагом называют твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной точки. Неподвижную точку называют точкой опоры. Расстояние от точки опоры до линии действия силы называют плечом этой силы.

Условие равновесия рычага: рычаг находится в равновесии, если приложенные к рычагу силы F₁ и F₂ стремятся вращать его в противоположных направлениях, причем модули сил обратно пропорциональны плечам этих сил: F₁/F₂ = l₂/l₁ Это правило было установлено Архимедом. По легенде он воскликнул: Дайте мне точку опоры и я подниму Землю.

Для рычага выполняется «золотое правило» механики (если можно пренебречь трением и массой рычага).

Прикладывая к длинному рычагу некоторую силу, можно другим концом рычага поднимать груз, вес которого намного превышает эту силу. Это означает, что, используя рычаг, можно получить выигрыш в силе. При использовании рычага выигрыш в силе обязательно сопровождается таким же проигрышем в пути.

Классификация рычагов (6 типов)

Рычаги делятся на 3 рода (по расположению точки опоры), и каждый род может работать в двух вариантах (выигрыш в силе или выигрыш в расстоянии). Но для 7 класса удобнее выделить 6 конкретных случаев:

Момент силы. Правило моментов

Произведение модуля силы на ее плечо называют моментом силы. M = Fl, где М — момент силы, F — сила, l — плечо силы.

Правило моментов: рычаг находится в равновесии, если сумма моментов сил, стремящихся вращать рычаг в одном направлении, равна сумме моментов сил, стремящихся вращать его в противоположном направлении. Это правило справедливо для любого твердого тела, способного вращаться вокруг закрепленной оси.

Момент силы характеризует вращающее действие силы. Это действие зависит как от силы, так и от ее плеча. Именно поэтому, например, желая открыть дверь, стараются приложить силу как можно дальше от оси вращения. С помощью небольшой силы при этом создают значительный момент, и дверь открывается. Открыть ее, оказывая давление около петель, значительно труднее. По той же причине гайку легче отворачивать более длинным гаечным ключом, шуруп легче вывернуть с помощью отвертки с более широкой ручкой и т. д.

Единицей момента силы в СИ является ньютон-метр (1 Н*м). Это момент силы 1 Н, имеющей плечо 1 м.

Решение типовых задач

ЗАДАЧА №1 (Рычаг 1-го рода, силовой — Лом)

Условие: Камень массой 120 кг лежит на земле. Человек хочет сдвинуть его с помощью лома. Точка опоры находится на расстоянии 20 см от камня и 80 см от рук. Какую силу должен приложить человек, чтобы поднять камень? (\( g = 10 \)).
Дано:
\( m = 120 \, кг \)
\( l_{груза} = 20 \, см = 0,2 \, м \)
\( l_{силы} = 80 \, см = 0,8 \, м \)
\( F_{силы} — ? \)
Решение:
1. Сила тяжести камня: \( F_{груза} = m \cdot g = 120 \cdot 10 = 1200 \, Н \).
2. Используем правило равновесия рычага: \( F_{силы} \cdot l_{силы} = F_{груза} \cdot l_{груза} \).
3. Выражаем силу человека: \( F_{силы} = \frac{F_{груза} \cdot l_{груза}}{l_{силы}} = \frac{1200 \cdot 0,2}{0,8} = \frac{240}{0,8} = 300 \, Н \).
Ответ: \( 300 \, Н \). (Выигрыш в силе: \( 1200 / 300 = 4 \) раза).

ЗАДАЧА №2 (Рычаг 1-го рода, равноплечий — Весы)

Условие: На рычажных весах на левой чашке лежит неизвестный груз. На правой чашке стоит гиря массой 2 кг на расстоянии 10 см от центра. Груз находится на расстоянии 10 см от центра. Найдите массу груза. (Весы в равновесии).
Дано:
\( m_{гири} = 2 \, кг \)
\( l_{гири} = 10 \, см \)
\( l_{груза} = 10 \, см \)
\( m_{груза} — ? \)
Решение:
1. Сила гири: \( F_{гири} = m_{гири} \cdot g = 2 \cdot 10 = 20 \, Н \).
2. Сила груза: \( F_{груза} = m_{груза} \cdot g \).
3. Правило рычага: \( F_{груза} \cdot l_{груза} = F_{гири} \cdot l_{гири} \).
4. Так как \( l_{груза} = l_{гири} \), то \( F_{груза} = F_{гири} \). Значит, \( m_{груза} = 2 \, кг \).
Ответ: \( 2 \, кг \). (Это логично: при равных плечах массы равны).

ЗАДАЧА №3 (Рычаг 1-го рода, скоростной — Щипцы для орехов)

Условие: У щипцов для орехов точка опоры (ось) находится на расстоянии 2 см от ореха (груза) и на расстоянии 6 см от рук (силы). Человек сжимает с силой 20 Н. Какая сила действует на орех?
Дано:
\( l_{силы} = 6 \, см \)
\( l_{груза} = 2 \, см \)
\( F_{силы} = 20 \, Н \)
\( F_{груза} — ? \)
Решение:
1. Правило рычага: \( F_{силы} \cdot l_{силы} = F_{груза} \cdot l_{груза} \).
2. Выражаем: \( F_{груза} = \frac{F_{силы} \cdot l_{силы}}{l_{груза}} = \frac{20 \cdot 6}{2} = \frac{120}{2} = 60 \, Н \).
Ответ: \( 60 \, Н \). (Выигрыш в силе: в 3 раза. Но руки при этом двигаются на расстояние в 3 раза большее, чем сжимаются губки щипцов).

ЗАДАЧА №4 (Рычаг 2-го рода, силовой — Тачка)

Условие: В тачку загрузили 100 кг песка. Центр тяжести груза находится на расстоянии 40 см от оси колеса (точка опоры). Рукоятки находятся на расстоянии 120 см от оси колеса. Какую вертикальную силу нужно приложить к рукояткам, чтобы поднять тачку? (\( g = 10 \)).
Дано:
\( m = 100 \, кг \)
\( l_{груза} = 40 \, см = 0,4 \, м \)
\( l_{силы} = 120 \, см = 1,2 \, м \)
\( F_{силы} — ? \)
Решение:
1. Вес груза: \( F_{груза} = m \cdot g = 100 \cdot 10 = 1000 \, Н \).
2. Правило рычага: \( F_{силы} \cdot l_{силы} = F_{груза} \cdot l_{груза} \).
3. \( F_{силы} = \frac{1000 \cdot 0,4}{1,2} = \frac{400}{1,2} \approx 333,3 \, Н \).
Ответ: \( 333,3 \, Н \). (Выигрыш в силе в 3 раза: \( 1000 / 333,3 \approx 3 \)).

ЗАДАЧА №5 (Рычаг 3-го рода — Бицепс человека)

Условие: Человек держит в руке гирю массой 5 кг. Точка опоры (локоть) находится на расстоянии 4 см от места крепления бицепса (мышца) и 32 см от центра тяжести гири. Какую силу должна развить мышца (бицепс), чтобы удержать гирю? (\( g = 10 \)).
Дано:
\( m = 5 \, кг \)
\( l_{мышцы} = 4 \, см = 0,04 \, м \)
\( l_{груза} = 32 \, см = 0,32 \, м \)
\( F_{мышцы} — ? \)
Решение:
1. Вес гири: \( F_{груза} = 5 \cdot 10 = 50 \, Н \).
2. Правило рычага: \( F_{мышцы} \cdot l_{мышцы} = F_{груза} \cdot l_{груза} \).
3. \( F_{мышцы} = \frac{50 \cdot 0,32}{0,04} = \frac{16}{0,04} = 400 \, Н \).
Ответ: \( 400 \, Н \). (Мышца должна развить силу в 8 раз больше веса гири! Вот почему держать груз на вытянутой руке тяжело — это рычаг 3-го рода, проигрышный в силе, но выигрышный в скорости движения).

ЗАДАЧА №6 (Рычаг 2-го рода, скоростной — Удочка)

Условие: Рыбак держит удочку за самый конец (точка опоры — рука). Он прикладывает силу кистью на расстоянии 30 см от опоры. Рыба массой 2 кг тянет леску вверх на расстоянии 150 см от опоры. Какую силу должен приложить рыбак, чтобы удержать удочку в равновесии? (\( g = 10 \)).
Дано:
\( m = 2 \, кг \)
\( l_{рыбы} = 150 \, см = 1,5 \, м \)
\( l_{силы} = 30 \, см = 0,3 \, м \)
Решение:
1. Сила рыбы: \( F_{рыбы} = 2 \cdot 10 = 20 \, Н \).
2. Правило рычага: \( F_{силы} \cdot l_{силы} = F_{рыбы} \cdot l_{рыбы} \).
3. \( F_{силы} = \frac{20 \cdot 1,5}{0,3} = \frac{30}{0,3} = 100 \, Н \).
Ответ: \( 100 \, Н \). (Рыбак прикладывает силу в 5 раз больше веса рыбы! Это рычаг 2-го рода, но он проигрышный в силе, потому что выигрыш в скорости — удилище работает как праща).

ЗАДАЧА №7 (Правило моментов — сложный случай)

Условие: На рычаг действуют три силы: \( F_1 = 20 \, Н \) на плече \( l_1 = 0,3 \, м \) вращает рычаг по часовой стрелке. \( F_2 = 15 \, Н \) на плече \( l_2 = 0,4 \, м \) вращает против часовой стрелки. \( F_3 \) приложена на плече \( l_3 = 0,5 \, м \) и вращает по часовой стрелке. Найдите \( F_3 \), если рычаг находится в равновесии.
Дано:
\( F_1 = 20 \, Н \), \( l_1 = 0,3 \, м \) (по часовой)
\( F_2 = 15 \, Н \), \( l_2 = 0,4 \, м \) (против часовой)
\( l_3 = 0,5 \, м \) (по часовой)
\( F_3 — ? \)
Решение:
1. По правилу моментов: сумма моментов по часовой стрелке равна сумме моментов против часовой.
2. Моменты по часовой: \( M_1 = F_1 \cdot l_1 = 20 \cdot 0,3 = 6 \, Н \cdot м \). \( M_3 = F_3 \cdot 0,5 \).
3. Моменты против часовой: \( M_2 = F_2 \cdot l_2 = 15 \cdot 0,4 = 6 \, Н \cdot м \).
4. Уравнение равновесия: \( M_1 + M_3 = M_2 \).
5. \( 6 + 0,5 \cdot F_3 = 6 \).
6. \( 0,5 \cdot F_3 = 0 \).
7. \( F_3 = 0 \, Н \).
Ответ: \( 0 \, Н \). (Сила \( F_1 \) уже уравновешивает \( F_2 \). Третья сила не нужна, рычаг уже в равновесии без неё).

ЗАДАЧА №8 (Момент силы — нахождение плеча)

Условие: Сила 50 Н приложена к рукоятке гаечного ключа. Момент силы, который она создает, равен 15 Н·м. На каком расстоянии от оси вращения (гайки) находится рукоятка? (То есть найдите плечо силы).
Дано:
\( F = 50 \, Н \)
\( M = 15 \, Н \cdot м \)
\( l — ? \)
Решение:
1. Формула момента: \( M = F \cdot l \).
2. Выражаем плечо: \( l = \frac{M}{F} = \frac{15}{50} = 0,3 \, м \).
Ответ: \( 0,3 \, м = 30 \, см \).

Шпаргалка для решения задач на рычаги:

1. Найдите точку опоры (ось вращения).
2. Определите, где приложена сила и где приложен груз (или другая сила).
3. Найдите плечи — расстояния от точки опоры до линий действия сил (ВСЕГДА перпендикулярно направлению силы!).
4. Запишите правило моментов: \( \sum M_{по\,часовой} = \sum M_{против\,часовой} \).
5. Подставьте числа и решите уравнение.

Конспект урока «Рычаги. Равновесие рычага. Момент силы».

Следующая тема: «Механическая энергия. Закон сохранения энергии».