Механические колебания.
Математический и пружинный маятники
Опорный конспект по физике в 9 классе по темам «Механические колебания. Амплитуда, период и частота колебаний. Математический и пружинный маятники. Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс». Обновлен 17.08.2026 г. Вернуться к Списку конспектов по физике
Проверяемые элементы содержания (ПЭС):
👉 ФОП ООО: 9.1. Колебательное движение. Основные характеристики колебаний: период, частота, амплитуда. 9.2. Математический и пружинный маятники. Превращение энергии при колебательном движении. 9.3. Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс.
👉 ОГЭ: 1.24 Механические колебания. Амплитуда, период и частота колебаний. Формула, связывающая частоту и период колебаний. 1.25 Математический и пружинный маятники. Превращение энергии при колебательном движении. 1.26 Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс.
Это завершающая тема механики — колебания и волны. Она объединяет всё: законы Ньютона, закон сохранения энергии и тригонометрию. Колебания — это самый распространённый тип движения в природе: от качелей до атомов в кристаллической решётке.
Периодическое движение. Колебания
Любое движение, которое повторяется через равные промежутки времени, называется периодическим.
Колебания — это частный случай периодического движения, при котором тело движется в обе стороны относительно положения равновесия.
📌 Колебания — это движения, которые точно или приблизительно повторяются через равные промежутки времени.
Примеры: маятник часов, струна гитары, игла швейной машинки, сердцебиение.
Свободные и вынужденные колебания
| Тип колебаний | Что это? | Пример | Причина затухания |
| Свободные | Колебания, происходящие после однократного внешнего воздействия за счёт внутренних сил системы. | Качели, которые вы толкнули один раз и отпустили. | Трение и сопротивление воздуха (затухают). |
| Вынужденные | Колебания, происходящие под действием периодической внешней силы. | Игла швейной машинки, поршень в двигателе, вибрация телефона. | Не затухают, пока действует внешняя сила. |
Колебательная система. Характеристики колебаний
📌 Колебательная система — это совокупность тел, способных совершать колебания (маятник, груз на пружине).
Условием возникновения колебания является наличие в системе возвращающей силы, всегда направленной к положению устойчивого равновесия. Каждый законченный цикл колебательного движения, после которого оно вновь повторяется, называется полным колебанием.
Основные характеристики:
| Характеристика | Обозначение | Единица измерения | Что показывает? |
| Амплитуда (\( A \)) | \( A \) | м, см | Наибольшее отклонение от положения равновесия. |
| Период (\( T \)) | \( T \) | с | Время одного полного колебания. |
| Частота (\( \nu \)) | \( \nu \) (или \( f \)) | Гц | Число колебаний за 1 секунду. |
| Связь периода и частоты | \( \nu = \frac{1}{T} \) | — | Чем больше частота, тем меньше период. |
Смещением х называется отклонение колеблющейся точки от положения равновесия в данный момент времени. Амплитудой колебаний хm называется модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия при колебательном движении.
Маятники (Три вида)
Маятник — это тело, подвешенное так, что оно может совершать колебания под действием силы тяжести или упругости.
| Тип маятника | Что представляет собой? | Колеблющаяся часть | Пример |
| Математический | Точка на длинной невесомой нерастяжимой нити. | Только груз (материальная точка). | Груз на длинной нити, часы с гирей. |
| Пружинный | Груз на пружине. | Груз + пружина (колеблются вместе). | Амортизатор автомобиля, пружина с грузом. |
| Физический | Твёрдое тело, вращающееся вокруг горизонтальной оси. | Всё тело целиком. | Линейка на гвозде, метроном. |
Если маятник не является ни пружинным, ни математическим, то к такому — физическому — маятнику формулы периода и частоты пружинного и математического маятников неприменимы. Для решения задач на физический маятник следует пользоваться законами Ньютона, сохранения импульса и сохранения энергии.
Формулы для периода колебаний
А) Математический маятник:
\( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \)
- \( T \) — период (с)
- \( l \) — длина нити (м)
- \( g \) — ускорение свободного падения (≈ 10 м/с²)
Выводы:
• Период математического маятника не зависит от массы груза!
• Чем длиннее нить, тем больше период (качели с длинной верёвкой качаются медленнее).
• Чем меньше \( g \) (например, на Луне), тем больше период.
Б) Пружинный маятник:
\( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \)
- \( T \) — период (с)
- \( m \) — масса груза (кг)
- \( k \) — жёсткость пружины (Н/м)
Выводы:
• Чем больше масса, тем больше период (тяжёлый груз на пружине качается медленнее).
• Чем больше жёсткость (туже пружина), тем меньше период.
Графическое изображение колебаний. Гармонические колебания
График колебаний — это зависимость координаты \( x \) (или скорости, ускорения) от времени \( t \).
• По горизонтали — время \( t \) (с).
• По вертикали — отклонение от равновесия \( x \) (м).
Как читать график:
1. Амплитуда (\( A \)) — максимальное значение \( x \) (высота «горба»).
2. Период (\( T \)) — время между двумя соседними «горбами» (или пересечениями нуля в одном направлении).
3. Частота (\( \nu \)) — \( \nu = 1/T \).
📌 Гармонические колебания — это колебания, график которых — синусоида или косинусоида. Математический маятник при малых углах совершает гармонические колебания.
Если момент начала отсчета времени колебаний совпадает с максимальным отклонением маятника от положения равновесия, то колебания являются косинусоидальными и их начальная фаза равна нулю. Если момент начала отсчета времени колебаний совпадает с прохождением маятником положения равновесия, то колебания являются синусоидальными и их начальная фаза тоже равна нулю.
Графики косинусоидальных гармонических колебаний смещения х, скорости v, ускорения а, силы F, потенциальной Ер, кинетической Ек и полной Е энергий, когда начальная фаза равна нулю:
Гармонические колебания происходят под действием переменной силы, пропорциональной смещению маятника от положения равновесия и всегда направленной к положению равновесия. Поскольку в процессе колебаний эта сила изменяется, изменяется и ускорение маятника, возникающее под действием этой силы. Поэтому к колебательному движению нельзя применять формулы равномерного или равноускоренного движений, с их помощью можно определять только средние скорость и ускорение за определенный промежуток времени. Чтобы найти мгновенную скорость, надо брать первую производную смещения по времени, а чтобы найти мгновенное ускорение — первую производную скорости по времени.
Уравнения механических колебаний
Если дано уравнение гармонических колебаний с цифровыми значениями параметров и требуется из него найти какую-либо величину, то запишите рядом уравнение гармонических колебаний в общем виде и сопоставьте его с данным уравнением. Та величина, что стоит между знаком «равно» и синусом или косинусом, есть амплитуда, в каком бы виде она ни была записана. Та, что стоит между синусом или косинусом и временем t, есть циклическая частота, а та, что без t, есть начальная фаза. Если наоборот, даны числовые значения параметров, а требуется записать уравнение колебаний, подставьте в уравнение в общем виде все числа, а время t оставьте в буквенном виде.
Превращение энергии при колебаниях (Закон сохранения энергии)
Колебания — это непрерывный переход энергии из одного вида в другой.
А) Математический маятник (качели):
- В крайней точке (\( A \)): \( v = 0 \), \( E_к = 0 \), \( E_п = max \).
- В положении равновесия (\( O \)): \( v = max \), \( E_к = max \), \( E_п = 0 \).
- Процесс: Потенциальная ↔ Кинетическая.
Б) Пружинный маятник:
- В крайней точке (\( x = A \)): \( v = 0 \), \( E_к = 0 \), \( E_п = \frac{kA^2}{2} \) (энергия упругости).
- В положении равновесия (\( x = 0 \)): \( v = max \), \( E_к = max \), \( E_п = 0 \).
- Процесс: Энергия упругости пружины ↔ Кинетическая энергия груза.
Полная механическая энергия (без трения):
\( E_{полн} = E_к + E_п = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \frac{kA^2}{2} = const \)
Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс
Затухающие колебания:
• Происходят в реальных системах (есть трение).
• Амплитуда колебаний постепенно уменьшается (качели, если их не подталкивать).
• Энергия уходит на преодоление трения и превращается в тепло.
Вынужденные колебания:
• Происходят под действием внешней периодической силы.
• Амплитуда постоянна, пока действует сила (поршень в двигателе, игла швейной машинки).
📌 Резонанс — это резкое возрастание амплитуды колебаний, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебательной системы.
Примеры:
• Полезный: Качели, если их ритмично подталкивать; в радиотехнике для настройки на нужную частоту.
• Вредный: Разрушение мостов под ногами солдат, идущих в ногу (поэтому по мосту идут «не в ногу»); вибрация в автомобиле.
Решение типовых задач
ЗАДАЧА №1 (Период математического маятника)
Условие: Как изменится период колебаний математического маятника, если длину нити увеличить в 4 раза?
Дано:
\( l_2 = 4 l_1 \)
Решение:
\( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \). Период пропорционален \( \sqrt{l} \).
\( \frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = \sqrt{4} = 2 \).
Ответ: Период увеличится в 2 раза.
ЗАДАЧА №2 (Период пружинного маятника)
Условие: Груз массой 0,5 кг колеблется на пружине жёсткостью 200 Н/м. Найдите период колебаний. (\( \pi \approx 3,14 \)).
Дано:
\( m = 0,5 \, кг \)
\( k = 200 \, Н/м \)
Решение:
\( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{0,5}{200}} = 6,28 \cdot \sqrt{0,0025} = 6,28 \cdot 0,05 = 0,314 \, с \).
Ответ: \( 0,314 \, с \).
ЗАДАЧА №3 (Энергия пружинного маятника)
Условие: Амплитуда колебаний пружинного маятника 0,05 м, жёсткость пружины 400 Н/м. Найдите полную механическую энергию маятника.
Дано:
\( A = 0,05 \, м \)
\( k = 400 \, Н/м \)
Решение:
\( E_{полн} = \frac{k A^2}{2} = \frac{400 \cdot 0,05^2}{2} = \frac{400 \cdot 0,0025}{2} = \frac{1}{2} = 0,5 \, Дж \).
Ответ: \( 0,5 \, Дж \).
Шпаргалка — Колебания
| Характеристика | Математический маятник | Пружинный маятник |
| Период | \( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \) | \( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \) |
| Частота | \( \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} \) | \( \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \) |
| Зависимость от массы | Не зависит! | Зависит (\( T \propto \sqrt{m} \)) |
| Зависимость от длины/жёсткости | \( T \propto \sqrt{l} \) | \( T \propto \frac{1}{\sqrt{k}} \) |
| Полная энергия | \( E_{полн} = mgh_{max} \) | \( E_{полн} = \frac{kA^2}{2} = \frac{m v_{max}^2}{2} \) |
(с) Ниже в учебных целях использованы схемы из учебного пособия «Физика в таблицах и схемах: Все темы школьной программы. 7—11 классы. — СПб.: Издательский Дом «Литера», 2023», автор: Янчевская О. В.
❓ Вопрос на подумать (к следующей теме): Мы изучили механические колебания. Если взять веревку и начать колебать один конец, как побежит «волна» по веревке?
Это будет распространение колебаний в среде — волна. Эту тему мы разберём в волновой оптике и механических волнах!
Конспект урока по физике 9 класс «Механические колебания. Амплитуда, период и частота колебаний. Математический и пружинный маятники. Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс». Выберите дальнейшее действие:
- Вернуться к Списку конспектов по физике для 7-11 классов
- Найти конспект через Кодификатор ОГЭ по физике
- Найти конспект через Кодификатор ЕГЭ по физике
- «ЗАДАЧИ на механические колебания с решениями»
